2011-上海卷理-18 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的定义与充要条件，以及充要条件的推导与反例构造。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 设 $\{a_n\}$ 是各项为正数的无穷数列，$A_i$ 是边长为 $a_i,a_{i+1}$ 的矩形面积（$i=1,2,\cdots$），则“$\{A_n\}$ 为等比数列”的充要条件为 ()

A. $\{a_n\}$ 是等比数列

B. $a_1,a_3,\cdots ,a_{2n-1},\cdots$ 或 $a_2,a_4,\cdots ,a_{2n},\cdots$ 是等比数列

C. $a_1,a_3,\cdots ,a_{2n-1},\cdots$ 和 $a_2,a_4,\cdots ,a_{2n},\cdots$ 均是等比数列

D. $a_1,a_3,\cdots ,a_{2n-1},\cdots$ 和 $a_2,a_4,\cdots ,a_{2n},\cdots$ 均是等比数列，且公比相同

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确定义：已知 $a_n>0$，矩形面积 $A_n=a_n{a}_{n+1}$。
2. 充分性验证（从 D 推 $\{A_n\}$ 为等比）：

• 设奇数项公比为 $q_1$，偶数项公比为 $q_2$。若 $q_1=q_2=q$：
• 当 $n$ 为奇数时，$A_{n+1}/A_n=\frac{a_{n+1}{a}_{n+2}}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{a_{n+2}}{a_n}=q_1=q$；
• 当 $n$ 为偶数时，$A_{n+1}/A_n=\frac{a_{n+2}}{a_n}=q_2=q$；
• 此时 $\frac{A_{n+1}}{A_n}=q$ 恒为常数，$\{A_n\}$ 必为等比数列。

3. 必要性验证（从 $\{A_n\}$ 为等比推 D）：

• 设 $\{A_n\}$ 的公比为 $Q(Q>0)$，即 $\frac{A_{n+1}}{A_n}=\frac{a_{n+2}}{a_n}=Q$；
• 这意味着对所有的奇数项，$\frac{a_{2k+1}}{a_{2k-1}}=Q$（奇数项是公比为 $Q$ 的等比数列）；
• 对所有的偶数项，$\frac{a_{2k+2}}{a_{2k}}=Q$（偶数项也是公比为 $Q$ 的等比数列）；
• 两者的公比均为 $Q$ 且相同。

4. 辨析 A 选项：$\{a_n\}$ 为等比数列只是充分不必要条件，例如令奇数项 $1,2,4,\dots$（公比 2），偶数项 $3,6,12,\dots$（公比 2），数列为 $1,3,2,6,4,12,\dots$，$\{a_n\}$ 不是等比数列，但 $A_n=a_n{a}_{n+1}$ 依次为 $3,6,12,24,\dots$ 是等比数列，故 A 不充要。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由题意，矩形面积为： $A_n=a_n{a}_{n+1}(n=1,2,\cdots )$ 数列 $\{A_n\}$ 为等比数列，充要条件是存在常数 $Q>0$，使得对任意正整数 $n$，均有： $\frac{A_{n+1}}{A_n}=Q$ 将 $A_n=a_n{a}_{n+1}$ 代入，得： $\frac{a_{n+1}{a}_{n+2}}{a_n{a}_{n+1}}=Q⟹\frac{a_{n+2}}{a_n}=Q$ 此式对一切 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒成立：

1. 当 $n$ 分别取奇数 $1,3,5,\cdots$ 时： $\frac{a_3}{a_1}=\frac{a_5}{a_3}=\cdots =\frac{a_{2k+1}}{a_{2k-1}}=Q$ 这表明奇数项数列 $a_1,a_3,\cdots ,a_{2n-1},\cdots$ 是以 $Q$ 为公比的等比数列；
2. 当 $n$ 分别取偶数 $2,4,6,\cdots$ 时： $\frac{a_4}{a_2}=\frac{a_6}{a_4}=\cdots =\frac{a_{2k+2}}{a_{2k}}=Q$ 这表明偶数项数列 $a_2,a_4,\cdots ,a_{2n},\cdots$ 是以 $Q$ 为公比的等比数列。 并且，奇数项数列的公比与偶数项数列的公比完全相同（均为 $Q$）。

反之，若奇数项与偶数项均为等比数列且公比相同（设为 $q$）， 则对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，均有 $\frac{a_{n+2}}{a_n}=q$。 从而： $\frac{A_{n+1}}{A_n}=\frac{a_{n+1}{a}_{n+2}}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{a_{n+2}}{a_n}=q$ 即数列 $\{A_n\}$ 为等比数列。

因此，“$\{A_n\}$ 为等比数列”的充要条件是： 奇数项数列与偶数项数列均是等比数列，且公比相同。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等比数列的充要条件、两项乘积构造新数列、奇偶子数列性质。
• 核心方法：
• 商式化简法：$\frac{A_{n+1}}{A_n}=\frac{a_{n+2}}{a_n}$，迅速揭示隔项比例；
• 充要条件论证：严格证明充分性与必要性双向成立。
• 避坑指南：
• 极易错选 A（误以为 $\{a_n\}$ 本身必须是等比数列）：若 $\{a_n\}$ 自身是公比为 $q$ 的等比数列，则奇偶子列公比均为 $q^2$，且 $\frac{a_2}{a_1}=q$ 锁定了初项关系；但题设只要求隔项比相同，并不限制 $a_1$ 与 $a_2$ 的比例关系，因此 $\{a_n\}$ 不一定是等比数列；
• 亦不可漏选公比相同的条件（排除 B、C）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：数列中“交错数列”与“隔项等比”的经典思辨题，考查对数列定义中“对任意 $n$ 恒成立”的本质理解。
• 结论推广：对任意正数列 $\{a_n\}$，$A_n=a_n{a}_{n+1}\dots a_{n+k-1}$ 构成等比数列的充要条件为：按模 $k$ 分类的各子数列均为等比数列，且它们的公比全部相同。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递
• 2002-上海卷理-12 填-反函数的定义与性质