2011-上海卷理-19 解-复数

本题导读

本题考查复数的代数四则运算。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 已知复数 $z_1$ 满足 $(z_1-2)(1+\text{i})=1-\text{i}$（$\text{i}$ 为虚数单位），复数 $z_2$ 的虚部为 2，且 $z_1\cdot z_2$ 是实数，求 $z_2$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用复数除法化简求出 $z_1-2=\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}$，进而得到 $z_1$ 的代数形式。
2. 设 $z_2=a+2\text{i}(a\in \mathbf{R})$。
3. 计算乘积 $z_1\cdot z_2$，由结果为实数令虚部为 0，求出实数 $a$，从而得出 $z_2$。

✅【答案】

点击查看答案

$z2=4+2i.$

✍【详细解析】

Abstract

由 $(z_1-2)(1+\text{i})=1-\text{i}$，得： $z_1-2=\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=\frac{(1-\text{i}{)}^2}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{-2\text{i}}{2}=-\text{i}$ 所以： $z_1=2-\text{i}$

由题意，复数 $z_2$ 的虚部为 2，可设： $z_2=a+2\text{i}(a\in \mathbf{R})$ 则： $z_1\cdot z_2=(2-\text{i})(a+2\text{i})=(2a+2)+(4-a)\text{i}$ 因为 $z_1\cdot z_2$ 是实数，所以其虚部为 0，即： $4-a=0⟹a=4$ 故复数： $z_2=4+2\text{i}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数除法运算法则、复数的乘法运算法则、复数的基本概念（实部、虚部、实数条件）。
• 核心方法：
• 常用特征值化简：$\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=-\text{i}$，$\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}=\text{i}$；
• 待定系数法：设 $z=a+b\text{i}(a,b\in \mathbf{R})$，利用虚部或实部条件列方程。
• 避坑指南：虚部是指虚数单位 $\text{i}$ 前面的实数系数（本题中为 2），不包含 $\text{i}$ 本身；写 $z_2$ 表达式时切勿遗漏虚数单位 $\text{i}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版/沪教版选修复数代数运算与几何意义的典型基础解答题。
• 结论推广：对于复数 $z_1,z_2$，两复数乘积为实数的几何充要条件为其在复平面上对应的向量与实轴的夹角之和为 $\pi$ 的整数倍，即 $\arg (z_1)+\arg (z_2)=k\pi (k\in \mathbf{Z})$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-江西卷理-01 单-集合交集