2011-四川卷理-08 单-排列组合

本题导读

本题考查累加法求数列通项，以及等差数列的通项与前 n 项和。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） 数列 $\{a_n\}$ 的首项为 3，$\{b_n\}$ 为等差数列且 $b_n=a_{n+1}-a_n(n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$.若 $b_3=-2$，$b_{10}=12$，则 $a_8=$ ()

A. 0　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 8　　　　　　　D. 11

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\{b_n\}$ 为等差数列，利用 $b_3$ 和 $b_{10}$ 计算其公差 $d$ 及首项 $b_1$。
2. 由累加法：$a_8=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots +(a_8-a_7)=a_1+{\sum }_{k=1}^7{b}_k$。
3. 计算等差数列 $\{b_n\}$ 的前 7 项和 $S_7$，进而求得 $a_8$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{b_n\}$ 的公差为 $d$。 因为 $b_3=-2$，$b_{10}=12$，所以： $b_{10}-b_3=7d⟹12-(-2)=7d⟹7d=14⟹d=2$ 则首项为： $b_1=b_3-2d=-2-2\times 2=-6$ 根据差分关系 $a_{k+1}-a_k=b_k$，采用累加法： $a_8=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots +(a_8-a_7)=a_1+{\sum }_{k=1}^7{b}_k$ 其中 ${\sum }_{k=1}^7{b}_k$ 为等差数列 $\{b_n\}$ 的前 7 项和： ${\sum }_{k=1}^7{b}_k=7b_1+\frac{7\times 6}{2}d=7\times (-6)+21\times 2=-42+42=0$ 已知首项 $a_1=3$，所以： $a_8=3+0=3$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：累加法 $a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{b}_k$、等差数列通项与求和。
• 核心方法：
• 累加法公式中项数的对应：求 $a_8$ 只需累加到 $b_7$，前 $n-1$ 项和勿多加一项算到 $b_8$；
• 利用等差中项求和：${\sum }_{k=1}^7{b}_k=7b_4=7(b_3+d)=7(-2+2)=0$，口算即可秒解。
• 避坑指南：仔细核对累加终止下标，求 $a_8$ 累加的是 $b_1$ 到 $b_7$，而非 $b_8$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高中数学必修五第二章“数列的递推与通项”基础题型，对应微积分中离散差分向积分的还原。
• 结论推广：若 $a_{n+1}-a_n=f(n)$，则 $a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}f(k)$。当 $f(n)$ 为关于 $n$ 的一次多项式时，$a_n$ 恒为关于 $n$ 的二次多项式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I理-22 解-数列的递推关系
• 2008-天津卷理-15
• 2008-浙江卷文-18 解-数列分组求和