2014-上海卷文-06 填-基本不等式

本题导读

考查基本不等式求最值。$xy=1$ 是定值条件，直接对 $x^2$ 与 $2y^2$ 用均值不等式。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 若实数 $x$，$y$ 满足 $xy=1$，则 $x^2+2y^2$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $x^2$ 与 $2y^2$ 均为正（$xy=1\ne 0$）。
2. $x^2+2y^2⩾2\sqrt{2x^2{y}^2}=2\sqrt{2}|xy|=2\sqrt{2}$。
3. 验证取等：$x^2=2y^2$ 且 $xy=1$ 有解。

✅【答案】

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$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $xy=1$ 知 $x,y$ 同号且均不为零，于是 $x^2>0$，$2y^2>0$。由基本不等式

$x^2+2y^2⩾2\sqrt{x^2\cdot 2y^2}=2\sqrt{2}|xy|=2\sqrt{2}.$

取等条件为 $x^2=2y^2$。联立 $xy=1$：设 $y^2=\frac{1}{x^2}$，则 $x^2=\frac{2}{x^2}$，即 $x^4=2$，有实数解（如 $x=2^{\frac{1}{4}}$，$y>0$ 取同号）。

故最小值为 $2\sqrt{2}$，且可以取到。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式；取等条件的验证。

2. 核心方法：“定值乘积 + 平方式和”直接套 $a+b⩾2\sqrt{ab}$，务必回验取等点存在。

3. 避坑指南：$2\sqrt{2x^2{y}^2}=2\sqrt{2}|xy|$，绝对值不能丢（本题 $|xy|=1$ 恰好无影响，但习惯要养成）；只写不等式不验证取等，逻辑不完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 基本不等式是上海卷与传统卷的共同必考点，常以”条件最值”形式出现。

2. 结论推广: 若改为 $xy=2$，则 $x^2+2y^2⩾2\sqrt{2}|xy|=4$，最小值 $4$。

3. 方法推广: “系数配平 + 取等验证”是条件最值的完整两步。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-24 解-基本不等式