2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角

本题导读

考查线面垂直与二面角。设 $AB=2$、$A{A}_1=4$，$E$ 在 $C{C}_1$ 上距 $C$ 为 $1$。建系后 $\overrightarrow{A_{1}C}\cdot \overrightarrow{BE}=4-4=0$、$\overrightarrow{A_{1}C}\cdot \overrightarrow{BD}=4-4=0$，得 $A_{1}C\perp$ 平面 $BED$；两平面法向量算得 $\cos \theta =\frac{\sqrt{14}}{42}$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 如图，正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$A{A}_1=2AB=4$，点 $E$ 在 $C{C}_1$ 上且 $C_{1}E=3EC$.

(1)证明：$A_{1}C\perp$ 平面 $BED$；

(2)求二面角 $A_1-DE-B$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 由 $A{A}_1=4$、$C_{1}E=3EC$ 得 $EC=1$。以 $D$ 为原点建系。
2. (1)算 $\overrightarrow{A_{1}C}$ 与 $\overrightarrow{BE}$、$\overrightarrow{BD}$ 的数量积，均为零即垂直。
3. (2)求平面 $A_{1}DE$ 与平面 $BDE$ 的法向量。
4. 由投影或方向检验确定二面角为锐角，$\cos \theta =\frac{\sqrt{14}}{42}$。

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)二面角 $A_1-DE-B$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{14}}{42}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $AB=2$，则 $A{A}_1=4$，$EC=\frac{1}{4}C{C}_1=1$. 以 $D$ 为原点，$DA$、$DC$、$D{D}_1$ 所在直线为 $x$、$y$、$z$ 轴建立空间直角坐标系，则 $D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A_1(2,0,4),E(0,2,1).$ (1)$\overrightarrow{A_{1}C}=(-2,2,-4)$，$\overrightarrow{BE}=(-2,0,1)$，$\overrightarrow{BD}=(-2,-2,0)$. $\overrightarrow{A_{1}C}\cdot \overrightarrow{BE}=4+0-4=0,\overrightarrow{A_{1}C}\cdot \overrightarrow{BD}=4-4+0=0.$ 所以 $A_{1}C\perp BE$，$A_{1}C\perp BD$，又 $BE$、$BD$ 是平面 $BED$ 内相交直线， 故 $A_{1}C\perp$ 平面 $BED$. (2)平面 $A_{1}DE$ 中，$\overrightarrow{D{A}_1}=(2,0,4)$，$\overrightarrow{DE}=(0,2,1)$，设法向量 $n_1=(x_1,y_1,z_1)$： $\{\begin{array}{l}2x_1+4z_1=0,\\ 2y_1+z_1=0,\end{array}$ 取 $z_1=-2$，得 $n_1=(4,1,-2)$. 平面 $BDE$ 中，$\overrightarrow{DB}=(2,2,0)$，设法向量 $n_2=(x_2,y_2,z_2)$： $\{\begin{array}{l}2x_2+2y_2=0,\\ 2y_2+z_2=0,\end{array}$ 取 $y_2=-1$，得 $n_2=(1,-1,2)$. $\cos ⟨n_1,n_2⟩=\frac{n_1\cdot n_2}{|n_1||n_2|}=\frac{4-1-4}{\sqrt{21}\sqrt{6}}=-\frac{1}{\sqrt{126}}.$ 结合图形判断二面角 $A_1-DE-B$ 为锐角：在半平面 $A_{1}DE$、$BDE$ 内分别取 $A_1$、$B$，其相对于棱 $DE$ 的垂直分量 $v_1=(2,0,4)-\frac{4}{5}(0,2,1)=\left(2,-\frac{8}{5},\frac{16}{5}\right),v_2=(2,2,0)-\frac{4}{5}(0,2,1)=\left(2,\frac{2}{5},-\frac{4}{5}\right),$ $\cos \theta =\frac{v_1\cdot v_2}{|v_1||v_2|}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2\sqrt{105}}{5}\times \frac{2\sqrt{30}}{5}}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{12\sqrt{14}}{5}}=\frac{4}{12\sqrt{14}}=\frac{1}{3\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{42}>0.$ 故二面角 $A_1-DE-B$ 的大小为 $\theta =\arccos \frac{\sqrt{14}}{42}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱柱中的线面垂直与二面角

核心方法：$\overrightarrow{A_{1}C}\cdot \overrightarrow{BE}=\overrightarrow{A_{1}C}\cdot \overrightarrow{BD}=0$；$\cos \theta =\frac{\sqrt{14}}{42}$

避坑指南：$C_{1}E=3EC$ 给出 $E$ 的竖坐标；证线面垂直只需数量积为零（两条相交直线）；二面角用两平面法向量，最后要判断锐钝——本题投影验证为锐角，$\theta =\arccos \frac{\sqrt{14}}{42}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱柱垂直与二面角是立体几何解答题标准型，2009 大纲Ⅱ文第 19 题、2010 大纲Ⅱ文第 19 题同型。

结论推广：线面垂直：$\vec{d}\cdot \vec{u}=\vec{d}\cdot \vec{v}=0$（$u,v$ 相交）；二面角 $\cos \theta =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}$ 或投影法定符号。

方法推广：建系坐标务必全部核对一遍再算；法向量夹角与二面角可能互补，用”在两半平面内各取一点作棱的垂线方向”判断；$C_{1}E=3EC$ 型比例读准是第一道坎。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-09 单-正四棱柱距离比
• 2009-大纲卷II文-05 单-正四棱柱异面直线
• 2010-大纲卷II文-19 解-直三棱柱公垂线与二面角
• 2009-湖北卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角