2011-上海卷文-19 解-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数为实数的条件。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 已知复数 $z_1$ 满足 $(z_1-2)(1+i)=1-i$（$i$ 为虚数单位），复数 $z_2$ 的虚部为 $2$，且 $z_1\cdot z_2$ 是实数，求 $z_2$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：先解出 $z_1$
2. 步骤2：设 $z_2=a+2i$
3. 步骤3：令 $z_1{z}_2$ 虚部为零

✅【答案】

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$z_2=4+2i$

✍【详细解析】

Abstract

$z_1-2=\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i{)}^2}{2}=\frac{-2i}{2}=-i$，故 $z_1=2-i$。

设 $z_2=a+2i$（$a\in \mathrm{R}$）。$z_1{z}_2=(2-i)(a+2i)=2a+4i-ai-2i^2=(2a+2)+(4-a)i$。

由 $z_1{z}_2\in \mathrm{R}$ 得 $4-a=0$，$a=4$。故 $z_2=4+2i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数除法（分母实数化）；乘积为实数的充要条件

核心方法：除法乘共轭；设 $z_2=a+2i$ 展开，虚部为零定参

避坑指南：$(1-i)(1-i)$ 展开为 $-2i$（$(1-i{)}^2=1-2i+i^2=-2i$）；$z_1{z}_2$ 实部 $2a+2$ 不需要条件，只令虚部 $4-a=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数运算解答题与 2012-上海卷文-01、2011-天津卷文-01、2012-安徽卷文-01 同族。

结论推广：推广：$(a+bi)(c+di)\in \mathrm{R}⟺ad+bc=0$（虚部为零），当 $a,b,c$ 为实数时等价于两复数辐角互补。

方法推广：复数解答题：先把已知量全部解出（除法化简），再用”实数 $⟺$ 虚部为零”列方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-01 填-复数除法运算
• 2011-天津卷文-01 单-复数除法运算
• 2012-安徽卷文-01 单-复数除法运算