2011-北京卷文-02 单-复数除法运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及共轭复数。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 复数 $\frac{i-2}{1+2i}=$ ()

A. $i$　　　　　B. $-i$　　　　　C. $-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i$　　　　　D. $-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：分母实数化：分子分母同乘 $1-2i$
2. 步骤2：化简后取虚部为正的共轭

✅【答案】

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A原式 $=i$

✍【详细解析】

Abstract

$(i-2)(1-2i)=i-2i^2-2+4i=5i$，$(1+2i)(1-2i)=1+4=5$。

故 $\frac{i-2}{1+2i}=\frac{5i}{5}=i$。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数除法（分母实数化）；虚数单位 $i^2=-1$

核心方法：乘共轭：$\frac{a+bi}{c+di}$ 分子分母同乘 $c-di$，展开合并

避坑指南：$(i-2)(1-2i)$ 展开共四项：$i$、$-2i^2=+2$、$-2$、$+4i$，合并 $i+4i+2-2=5i$；漏掉 $-2i^2$ 的符号会得其他选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法是卷首高频题，与 2011-新课标卷文-02、2012-安徽卷文-01、2012-江苏卷-03 同族。

结论推广：推广：$\frac{i-2}{1+2i}$ 的分子分母模长都是 $\sqrt{5}$，商的模为 $1$，结果必在单位圆上（$i$ 或 $-i$ 等），可快速排除 C、D。

方法推广：复数小题：除法先乘共轭，展开时把 $i^2=-1$ 及时替换；模长关系可用来快速验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-02 单-复数除法运算
• 2012-安徽卷文-01 单-复数除法运算
• 2012-江苏卷-03 填-复数除法运算