2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数

本题导读

本题考查对数函数的定义域。核心在于定义法、反解法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 已知函数 $f(x)=\lg (x+1)$.

(1)若 $0<f(1-2x)-f(x)<1$，求 $x$ 的取值范围；

(2)若 $g(x)$ 是以 $2$ 为周期的偶函数，且当 $0⩽x⩽1$ 时，有 $g(x)=f(x)$，求函数 $y=g(x)$（$x\in [1,2]$）的反函数.

🔍【思路分析】

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（1）$x\in \left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$；（2）$x\in [1,2]$ 时 $g(x)=\lg (3-x)$，反函数 $y=3-10^x$，$x\in [0,\lg 2]$。

✅【答案】

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(1)$x\in \left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$；(2)反函数为 $y=3-10^x$，$x\in [0,\lg 2]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）定义域要求 $1-2x>-1$ 且 $x>-1$，即 $-1<x<1$。

$f(1-2x)-f(x)=\lg \frac{2-2x}{1+x}$，故 $0<\lg \frac{2(1-x)}{1+x}<1$，即 $1<\frac{2(1-x)}{1+x}<10$。

左边：$2(1-x)>1+x\Rightarrow x<\frac{1}{3}$；右边：$2(1-x)<10(1+x)\Rightarrow x>-\frac{2}{3}$。

结合定义域得 $x\in \left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$。

（2）$x\in [1,2]$ 时，$2-x\in [0,1]$，由偶函数 $g(x)=g(2-x)=\lg (3-x)$。

$y=\lg (3-x)$ 在 $[1,2]$ 上单调递减，值域为 $[\lg 1,\lg 2]=[0,\lg 2]$。

由 $y=\lg (3-x)$ 反解得 $x=3-10^y$，故反函数为 $y=3-10^x$，$x\in [0,\lg 2]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数不等式；周期性与偶函数的解析式改写；反函数的求法与定义域

核心方法：先定定义域再解对数不等式；用偶函数把 $[1,2]$ 拉回 $[0,1]$，反解后交换域值

避坑指南：$f(1-2x)$ 的真数 $2-2x>0$ 别漏（$1-2x>-1$）；反函数的定义域是原函数的值域 $[0,\lg 2]$，别写成 $[1,2]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数函数与反函数综合题，与 2014 年上海卷文第 20 题、2013 年上海卷文第 15 题同族。

结论推广：以 $2$ 为周期的偶函数满足 $g(x)=g(-x)=g(2-x)$；单调函数的反函数定义域为原函数值域。

方法推广：函数性质题先写定义域；求反函数按”反解 → 交换 → 标定义域（原值域）“三步。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-20 解-反函数与奇偶性
• 2013-上海卷文-15 单-反函数求值
• 2015-上海卷文-20 解-函数综合