2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率

本题导读

本题由离心率求双曲线参数：$a^2=n$，$b^2=12-n$，$c^2=a^2+b^2=12$，由 $e^2=3$ 解 $n$。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{n}-\frac{y^2}{12-n}=1$ 的离心率是 $\sqrt{3}$，则 $n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a^2=n$，$b^2=12-n$，则 $c^2=a^2+b^2=12$。
2. $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{12}{n}=3$，解出 $n$ 并检验 $0<n<12$。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程，$a^2=n$，$b^2=12-n$，故 $c^2=a^2+b^2=n+(12-n)=12$。 由离心率 $e=\sqrt{3}$，得 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{12}{n}=3$，解得 $n=4$。 检验：$n=4$ 满足 $0<n<12$，方程确为双曲线。 所以 $n=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线离心率求参数

核心方法：$c^2=a^2+b^2$ 与 $e^2=\frac{c^2}{a^2}$ 联立

避坑指南：$n$ 必须满足 $0<n<12$ 才是双曲线；解出参数后回代检验取值范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 安徽文第 6 题、2010 辽宁文第 9 题同考双曲线离心率。

结论推广：双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，离心率问题就是 $a,b,c$ 的方程。

方法推广：解出参数后代回检验方程类型（双曲线要求 $a^2>0$ 且 $b^2>0$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率
• 2010-新课标卷文-05 单-双曲线离心率
• 2010-辽宁卷文-09 单-双曲线离心率
• 2009-福建卷文-04 单-双曲线离心率