2009-上海卷文-01 填-反函数

本题导读

考查反函数。$y=x^3+1\Rightarrow x=\sqrt[3]{y-1}$，故 $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}$（$x\in \mathbf{R}$）。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 函数 $f(x)=x^3+1$ 的反函数 $f^{-1}(x)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y=x^3+1$ 得 $x^3=y-1$，即 $x=\sqrt[3]{y-1}$。
2. 互换 $x$、$y$：$f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}$，定义域为 $\mathbf{R}$。

✅【答案】

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$\sqrt[3]{x-1}$（$x\in \mathbf{R}$）

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=x^3+1$，得 $x^3=y-1$，$x=\sqrt[3]{y-1}$。 将 $x$ 与 $y$ 互换，得反函数 $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}$（$x\in \mathbf{R}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数

核心方法：解出 $x$ 再互换

避坑指南：立方根别丢：$x^3=y-1\Rightarrow x=\sqrt[3]{y-1}$；反函数定义域是原函数值域 $\mathbf{R}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：幂函数型反函数是上海卷传统首题。

结论推广：$y=x^3$ 与 $y=\sqrt[3]{x}$ 互为反函数，平移不改变这一关系。

方法推广：先解 $x$ 再换字母，两步顺序不能反；定义域为全体实数，可不写但心里要有数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-06 单-反函数求值
• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2013-上海卷文-15 单-反函数求值