2024-新高考II卷-03 单-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量数量积的性质与运算律，以及向量模的运算。

📌【题干】

Question

（2024年新高考II卷）已知向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足：$|\vec{a}|=1$，$|\vec{a}+2\vec{b}|=2$，且 $(\vec{b}-2\vec{a})\perp \vec{b}$，则 $|\vec{b}|=$（ ）

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 模的平方化：已知 $|\vec{a}+2\vec{b}|=2$，通过两边平方将其转化为数量积形式：$|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=4$。
2. 垂直转化：由 $(\vec{b}-2\vec{a})\perp \vec{b}$ 可直接得出其数量积为 $0$，即 $(\vec{b}-2\vec{a})\cdot \vec{b}=0$。
3. 建立方程组：展开上述两个等式，代入 $|\vec{a}|=1$，通过消去中间变量 $\vec{a}\cdot \vec{b}$，解出 $|\vec{b}|$ 的值。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：展开模的平方条件 由 $|\vec{a}+2\vec{b}|=2$，两边平方得： $(\vec{a}+2\vec{b}{)}^2=4$ 展开得： $|\vec{a}{|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+4|\vec{b}{|}^2=4$ 将 $|\vec{a}|=1$ 代入上式： $1+4\vec{a}\cdot \vec{b}+4|\vec{b}{|}^2=4⟹4\vec{a}\cdot \vec{b}+4|\vec{b}{|}^2=3\text{— (1)}$

第二步：利用垂直关系建立联系 因为 $(\vec{b}-2\vec{a})\perp \vec{b}$，根据向量垂直的充要条件： $(\vec{b}-2\vec{a})\cdot \vec{b}=0$ 展开得： $|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}=0⟹2\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{b}{|}^2\text{— (2)}$

第三步：联立求解 $|\vec{b}|$ 将方程 ② 两边同时乘以 $2$，得： $4\vec{a}\cdot \vec{b}=2|\vec{b}{|}^2$ 将其代入方程 ① 中： $2|\vec{b}{|}^2+4|\vec{b}{|}^2=3$ $6|\vec{b}{|}^2=3⟹|\vec{b}{|}^2=\frac{1}{2}$ 由于模长 $|\vec{b}|\ge 0$，所以： $|\vec{b}|=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

故选：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量模长平方展开公式（ $(\vec{x}+\vec{y}{)}^2=|\vec{x}{|}^2+2\vec{x}\cdot \vec{y}+|\vec{y}{|}^2$ ）、向量正交垂直与数量积零值的同构转换、方程思想在向量多项式消元中的应用。
2. 核心方法：整体块代换消元流。在平面向量的参数求解中，当题目没有显式给出两向量的夹角 $\theta$，且未知量交错时，最忌讳的是盲目引入 $\cos \theta$ 试图去列写极坐标方程。最的代数是将“基底点积块 $\vec{a}\cdot \vec{b}$”视为一个独立的字母整体，利用垂直条件和模长方程联立成二元一次方程组，直接通过加减消元将其物理消去，从而彻底维持思维的清爽与运算的高效。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（完全平方展开漏掉交叉项的系数）：部分同学在展开 $(\vec{a}+2\vec{b}{)}^2$ 时，极易受粗心思维惯性干扰，想当然地写成 $|\vec{a}{|}^2+4|\vec{b}{|}^2=4$，漏掉了极其重要的交叉点积项 $4\vec{a}\cdot \vec{b}$。这种原则性公式残缺会导致后续无法与垂直条件合流。
• 避坑指南 2（垂直条件展开时字母分配错误）：个别考生在处理 $(\vec{b}-2\vec{a})\cdot \vec{b}=0$ 时，由于草稿纸书写仓促，错看成了对 $\vec{a}$ 的点积，算成 $\vec{a}\cdot \vec{b}-2|\vec{a}{|}^2=0$，引发参数方向的全面反转。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自人教A版必修第二册第六章《平面向量及其应用》中“平面向量的数量积”章节后的基础巩固复习题。新高考命题组通过将“和模长”与“正交垂直”进行极简结合，分离了复杂的几何作图和坐标系依托，纯粹考查考生在全域代数变形中保持逻辑自洽的基础知识与基本技能。
2. 结论推广: 将此类“已知单基底模、和向量模与局域正交”的模型提炼为一般模型：

• 设已知向量满足 $|\vec{a}|=R$、 $|\vec{a}+k\vec{b}|=M$，且正交关系满足 $(\vec{b}-\lambda \vec{a})\perp \vec{b}$ （其中 $k,\lambda$ 均为非零实常数）。
• 通过通用整体代换消元，其目标向量 $\vec{b}$ 的模长平方满足如下高度同构的代数不变量公式： $\left(k^2+\frac{2k}{\lambda }\right)|\vec{b}{|}^2=M^2-R^2$
• 本题中由于给出 $R=1,k=2,M=2,\lambda =2$，代入本题数据验证： $\left(2^2+\frac{2\times 2}{2}\right)|\vec{b}{|}^2=2^2-1^2⟹(4+2)|\vec{b}{|}^2=3⟹6|\vec{b}{|}^2=3⟹|\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$。这一规律能帮助在考场上快速求解。

1. 方法推广: 本题所展现的“通过两端平方解除模长外壳、利用正交方程整体消元”的思想，具有较强的跨章节迁移价值。不仅是高一向量客观题的基础题型，未来在选择性必修第一册中的“解析几何大题最后一问，利用圆锥曲线动弦夹角为直角转化为向量点积为零（ $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$ ）进行参数范围夹逼放缩”、或者是数系扩充中的“复数模多项式化简”时，其核心思路——“抓住非线性项的封闭性，通过引入整体替身构造线性方程组实现高维向一元的化归”。掌握这一方法，能让您在考场上面对任何复合超越多项式时，都能稳定地解决此类问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2010-安徽卷文-03 单-向量垂直判定
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算