2011-上海卷文-18 单-向量和与重心

本题导读

本题考查平面向量，以及点共线与重心。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)）设 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ 是平面上给定的 $4$ 个不同点，则使 $M A_{1} + M A_{2} + M A_{3} + M A_{4} = 0$ 成立的点 $M$ 的个数为 ()

A. $0$ 　　　　　　　B. $1$ 　　　　　　　C. $2$ 　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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步骤1： $M A_{1} + \dots + M A_{4} = 0 ⟺ M$ 为四点重心

步骤2：唯一存在

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

取 $G = \frac{A _{1} + A _{2} + A _{3} + A _{4}}{4}$ （以任一点 $O$ 为原点， $O G = \frac{1}{4} \sum O A_{i}$ ）。

则 $M A_{1} + \dots + M A_{4} = (M O + O A_{1}) + \dots + (M O + O A_{4}) = 4 M O + \sum O A_{i} = 4 (M O + O G) = 4 M G$ 。

其为 $0$ 当且仅当 $M = G$ ，故满足条件的点恰有 $1$ 个。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量和的零化；重心的向量刻画

核心方法：利用 $M X = M O + O X$ 把和化为 $4 M G$

避坑指南：四点的”重心”（平均位置）即使四点共线或构成任意四边形也唯一存在；不要因图形形状而误选 $0$ 或 $2$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量和与重心题与 2013-湖南卷理-08、2015-湖南卷文-09、2011-天津卷文-14 同族。

结论推广：推广： $M A_{1} + \dots + M A_{n} = 0$ 有唯一解 $M = \frac{1}{n} \sum A_{i}$ （重心）； $n = 3$ 即三角形重心。

方法推广：向量和条件题：用原点拆分把”动点 $M$ “集中成 $n M O$ ，解的存在唯一性立现。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

2013-湖南卷理-08 单-重心性质

2015-湖南卷文-09 单-向量和最值

2011-天津卷文-14 填-向量和模最小值

∑ ( Math )

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2011-上海卷文-18 单-向量和与重心

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