2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角

本题导读

本题考查线面垂直，以及线面垂直的判定与性质。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(文)） 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 为 $BC$ 的中点，$PO\perp$ 平面 $ABC$，垂足 $O$ 落在线段 $AD$ 上.

(1) 证明：$AP\perp BC$；

(2) 已知 $BC=8$，$PO=4$，$AO=3$，$OD=2$.求二面角 $B-AP-C$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 三线合一 + $PO\perp$ 底面 $\Rightarrow BC\perp$ 平面 $APO$
2. 步骤2：(2) 建系求两面内垂直于 $AP$ 的向量
3. 步骤3：点积为零

✅【答案】

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(1) 见解析

(2) $90^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $AB=AC$ 且 $D$ 为 $BC$ 中点，故 $AD\perp BC$。

$PO\perp$ 平面 $ABC$，$BC\subset$ 平面 $ABC$，故 $PO\perp BC$。

$AD$ 与 $PO$ 相交且都在平面 $APO$ 内，故 $BC\perp$ 平面 $APO$；又 $AP\subset$ 平面 $APO$，所以 $AP\perp BC$。

(2) 由 $AO=3$，$OD=2$ 得 $AD=5$；$D$ 为 $BC$ 中点，$BD=DC=4$，$A{B}^2=A{D}^2+B{D}^2=41$。

建系：$O$ 为原点，$OD$ 为 $x$ 轴正向，$DB$ 方向为 $y$ 轴负向，$OP$ 为 $z$ 轴正向，则

$A(-3,0,0)$，$D(2,0,0)$，$B(2,-4,0)$，$C(2,4,0)$，$P(0,0,4)$。

$\overrightarrow{AP}=(3,0,4)$，$\overrightarrow{AB}=(5,-4,0)$，$\overrightarrow{AC}=(5,4,0)$。

在平面 $PAB$ 内取 $u=5\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AP}=(16,-20,-12)$，在平面 $PAC$ 内取 $v=5\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AP}=(16,20,-12)$，则

$u\cdot \overrightarrow{AP}=48+0-48=0$，$v\cdot \overrightarrow{AP}=48+0-48=0$，故 $u$，$v$ 分别是两个面内垂直于棱 $AP$ 的方向向量。

$u\cdot v=256-400+144=0$，两面内垂直于棱的两条直线互相垂直，故二面角 $B-AP-C$ 的大小为 $90^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定与性质；二面角的向量求法

核心方法：证线线垂直走”线面垂直”中转（$BC\perp$ 平面 $APO$）；求二面角在两侧面内各找一条垂直于棱的向量，点积判垂直

避坑指南：$O$ 在 $AD$ 上且 $AO=3$、$OD=2$ 给出 $A=(-3,0,0)$（负号别丢）；$u=5\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AP}$ 的系数来自 $u\cdot \overrightarrow{AP}=0$ 的待定解，须验证两条点积都为零。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面垂直与二面角题与 2011-大纲卷文-20、2013-浙江卷文-20、2014-湖南卷文-18 同族。

结论推广：推广：等腰三角形 + 顶垂线 + 垂足在底边中线上的结构，二面角 $B-AP-C$ 是否为直角可由 $A{B}^2+A{C}^2$ 与 $B{C}^{\prime }$ 型关系判断，本题向量法一锤定音。

方法推广：立体几何大题：第一问的垂直链要一环环写清判定定理；第二问建系时坐标轴贴着已知垂直关系走，向量方程 $u\cdot \overrightarrow{AP}=0$ 取最简整数解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角
• 2013-浙江卷文-20 解-线面垂直与线面角
• 2014-湖南卷文-18 解-二面角