2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项

本题导读

本题考查等差数列。核心在于待定系数法、方程组法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.已知 $S_3=a_2^2$，且 $S_1,S_2,S_4$ 成等比数列，求 $\{a_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化第一个条件：利用等差数列求和性质 $S_3=\frac{3(a_1+a_3)}{2}=3a_2$。结合已知条件 $S_3=a_2^2$，可以先求出 $a_2$ 的可能取值。
2. 转化第二个条件：由 $S_1,S_2,S_4$ 成等比数列，利用等比中项性质得 $S_2^2=S_1\cdot S_4$。
3. 建立方程组：设等差数列公差为 $d$，用 $a_2$ 和 $d$ 表示出 $S_1,S_2,S_4$，代入上述等比中项方程。
4. 分类讨论与求解：针对 $a_2$ 的不同取值，解出公差 $d$，进而得出通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$。

✅【答案】

点击查看答案

若 $a_2=0$；若 $a_2=3$

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。

第一步：由 $S_3=a_2^2$ 确定 $a_2$ 在等差数列中，$S_3=\frac{3(a_1+a_3)}{2}=3a_2$。 由题意 $3a_2=a_2^2$，解得 $a_2=0$ 或 $a_2=3$。

第二步：由等比关系建立方程 因为 $S_1,S_2,S_4$ 成等比数列，所以 $S_2^2=S_1\cdot S_4$。 用 $a_2,d$ 表示各项：

• $S_1=a_1=a_2-d$
• $S_2=a_1+a_2=2a_2-d$
• $S_4=\frac{4(a_1+a_4)}{2}=2(a_2-d+a_2+2d)=4a_2+2d$ 代入等比中项公式： $(2a_2-d{)}^2=(a_2-d)(4a_2+2d)$

第三步：分类讨论

1. 若 $a_2=0$： 方程变为 $(-d{)}^2=(-d)(2d)⟹d^2=-2d^2⟹3d^2=0$。 解得 $d=0$。此时数列为全 0 数列，通常不符合等比数列项不为 0 的隐含定义（或公比不存在），舍去。

2. 若 $a_2=3$： 方程变为 $(6-d{)}^2=(3-d)(12+2d)$。 展开：$36-12d+d^2=36+6d-12d-2d^2$。 整理：$3d^2-6d=0⟹3d(d-2)=0$。 解得 $d=0$ 或 $d=2$。

第四步：写出通项公式

• 当 $a_2=3,d=0$ 时： $a_1=a_2=3$，通项公式为 $a_n=3$。
• 当 $a_2=3,d=2$ 时： $a_1=a_2-d=3-2=1$，通项公式为 $a_n=1+(n-1)\times 2=2n-1$。

综上所述，$\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=3$ 或 $a_n=2n-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列和公式与等比中项性质的交叉应用。

核心方法：“参数化简”。在本题中，使用 $a_2$ 和 $d$ 作为基本量比使用 $a_1$ 和 $d$ 计算更简洁，因为 $S_3=3a_2$ 是一个非常直接的切入点。

避坑指南：- 不要漏掉 $d=0$ 的常数列情况。 - 在处理 $a_2=0$ 时，需注意等比数列的项不能为 0 的定义要求。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差中项、数列通项与前 $n$ 项和的关系 $a_n=S_n-S_{n-1}$。

结论推广：对于等差数列，若 $S_{2k-1}$ 为定值，则 $a_k$ 为定值。

方法推广：解决数列综合题，关键是找准“基本量”（如 $a_1,d$ 或 $a_n,q$），通过已知条件列方程组。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-07 单-等差数列通项
• 2026-新高考II卷-12 填-等差数列
• 2026-北京卷-12 填-等差数列