2011-上海卷文-06 填-分式不等式

本题导读

本题考查分式不等式。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 不等式 $\frac{1}{x}<1$ 的解集为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：分 $x<0$ 与 $x>0$ 讨论
2. 步骤2：或移项通分为 $\frac{x-1}{x}>0$

✅【答案】

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$\{x\mid x<0$ 或 $x>1\}$

✍【详细解析】

Abstract

移项：$\frac{1}{x}-1<0$，即 $\frac{1-x}{x}<0$，等价于 $x(1-x)<0$，即 $x(x-1)>0$。

故 $x<0$ 或 $x>1$，解集为 $\{x\mid x<0$ 或 $x>1\}$。

（分类讨论：$x<0$ 时 $\frac{1}{x}<0<1$ 恒成立；$x>0$ 时 $1<x$，即 $x>1$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式不等式与二次不等式的转化

核心方法：移项通分，化为”分子分母异号”（或分子分母同乘 $x^2$）再解二次不等式

避坑指南：不能直接两边乘 $x$（$x$ 符号未知）；负数解 $x<0$ 常被漏掉——$x<0$ 时左边为负恒小于 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式不等式题与 2013-上海卷文-01、2012-江西卷文-11、2015-上海卷文-16 同族。

结论推广：推广：$\frac{1}{x}<a$（$a>0$）的解集为 $x<0$ 或 $x>\frac{1}{a}$；含参时可整体记忆。

方法推广：分式不等式：先移项使一边为 $0$，再转化为整式不等式；绝不直接交叉乘。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-01 填-分式不等式
• 2012-江西卷文-11 填-分式不等式解集
• 2015-上海卷文-16 单-分式不等式