2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件

本题导读

本题考查等比数列的前 $n$ 项和，以及等差数列的条件转化。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是以 $a$ 为首项，$q$ 为公比的等比数列，$S_n$ 为它的前 $n$ 项和.

(1)当 $S_1$，$S_3$，$S_4$ 成等差数列时，求 $q$ 的值；

(2)当 $S_m$，$S_n$，$S_l$ 成等差数列时，求证：对任意自然数 $k$，$a_{m+k}$，$a_{n+k}$，$a_{l+k}$ 也成等差数列.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：（1）把 $2S_3=S_1+S_4$ 化为 $q^2-q-1=0$
2. 步骤2：（2）把等差条件化为 $2q^n=q^m+q^l$
3. 步骤3：两边乘 $a{q}^k$ 即得

✅【答案】

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(1) $q=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 或 $q=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）$S_1=a$，$S_3=a(1+q+q^2)$，$S_4=a(1+q+q^2+q^3)$。 由 $2S_3=S_1+S_4$： $2(1+q+q^2)=1+(1+q+q^2+q^3)$，即 $2+2q+2q^2=2+q+q^2+q^3$， 得 $q+q^2-q^3=0$，即 $q(q^2-q-1)=0$。 公比 $q\ne 0$，故 $q^2-q-1=0$，$q=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$。 （注：$q=1$ 时不满足 $2S_3=S_1+S_4$（$6a\ne 5a$），无需单列。） （2）由 $2S_n=S_m+S_l$： 若 $q=1$，则条件 $2na=ma+la$ 即 $2n=m+l$，此时 $a_{m+k}=a_{n+k}=a_{l+k}=a$，任意三项均成等差数列（公差为 0）。 若 $q\ne 1$，则 $2\cdot \frac{a(1-q^n)}{1-q}=\frac{a(1-q^m)}{1-q}+\frac{a(1-q^l)}{1-q}$， 化简得 $2q^n=q^m+q^l$。 对任意自然数 $k$，两边同乘 $a{q}^k$：$2a{q}^{n+k}=a{q}^{m+k}+a{q}^{l+k}$， 即 $2a_{n+k}=a_{m+k}+a_{l+k}$，故 $a_{m+k}$，$a_{n+k}$，$a_{l+k}$ 成等差数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列求和公式（$q=1$ 的讨论不可漏）；等差条件的代数化；整体恒等变形。

核心方法：求和公式代入 → 化为 $q$ 的方程 → 指数恒等式整体同乘实现「平移 $k$ 项」。

避坑指南：（1）中 $q=1$ 使求和公式失效，必须单独代入验证（此时条件恒成立）；（2）的证明同样要按 $q=1$ 与 $q\ne 1$ 两段书写，合并结论，否则证明不完备。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：「和的等差条件 → 项的等差结论」平移结构是数列证明题的经典，2012 陕西文 16、2013 重庆文 16 与本题同练 $S$ 与 $a$ 的互化。

结论推广：结论可推广：$S_{m_1},\cdots$ 的等差性在下标同加 $k$ 后保持不变，根源是等比数列 $a_{n+k}=q^k{a}_n$ 的伸缩不变性；对等差数列 $S$ 与 $a$ 的等差性则无条件互通。

方法推广：数列证明题先扫一眼求和公式的适用范围（$q\ne 1$），把 $q=1$ 单列；恒等式证明优先「整体同乘/同除」，不要展开逐项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-16 解-等比数列求和与等差证明
• 2013-重庆卷文-16 解-等比数列与等差
• 2011-重庆卷文-16 解-等比等差分组求和