2017-全国卷III理-06 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的周期性，以及三角函数的对称性。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） 设函数 $f(x)=\cos (x+\frac{\pi }{3})$，则下列结论错误的是 ()

A. $f(x)$ 的一个周期为 $-2\pi$

B. $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{8\pi }{3}$ 对称

C. $f(x+\pi )$ 的一个零点为 $x=\frac{\pi }{6}$

D. $f(x)$ 在 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 单调递减

🔍【思路分析】

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1. 分析 A 选项（周期性）：函数 $y=\cos (\omega x+\varphi )$ 的最小正周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。任何形如 $nT$（$n\in \mathbb{Z},n\ne 0$）的数都是其周期。
2. 分析 B 选项（对称轴）：若直线 $x=x_0$ 是对称轴，则 $f(x_0)$ 必须取得最大值或最小值，即 $\cos (x_0+\frac{\pi }{3})=\pm 1$。
3. 分析 C 选项（零点）：将 $x=\frac{\pi }{6}$ 代入 $f(x+\pi )$，看函数值是否为 0。
4. 分析 D 选项（单调性）：利用整体代换法，令 $u=x+\frac{\pi }{3}$，根据 $y=\cos u$ 的单调减区间 $[2k\pi ,2k\pi +\pi ]$ 来判定。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 对于 A 项：$f(x)=\cos (x+\frac{\pi }{3})$ 的最小正周期 $T=2\pi$。因为 $-2\pi$ 是 $T$ 的 $-1$ 倍，所以 $-2\pi$ 也是函数的一个周期。结论正确。
• 对于 B 项：将 $x=\frac{8\pi }{3}$ 代入 $f(x)$ 得： $f(\frac{8\pi }{3})=\cos (\frac{8\pi }{3}+\frac{\pi }{3})=\cos (3\pi )=-1$。 由于函数取得了最小值，说明 $x=\frac{8\pi }{3}$ 确实是图象的一条对称轴。结论正确。
• 对于 C 项：$f(x+\pi )=\cos (x+\pi +\frac{\pi }{3})=\cos (x+\frac{4\pi }{3})$。 将 $x=\frac{\pi }{6}$ 代入：$\cos (\frac{\pi }{6}+\frac{4\pi }{3})=\cos (\frac{9\pi }{6})=\cos (\frac{3\pi }{2})=0$。 函数值为 0，说明 $x=\frac{\pi }{6}$ 是其一个零点。结论正确。
• 对于 D 项：令 $u=x+\frac{\pi }{3}$。由于 $x\in (\frac{\pi }{2},\pi )$，则 $u\in (\frac{5\pi }{6},\frac{4\pi }{3})$。 在 $u\in (\frac{5\pi }{6},\pi ]$ 时，$y=\cos u$ 单调递减； 在 $u\in [\pi ,\frac{4\pi }{3})$ 时，$y=\cos u$ 单调递增。 因此，$f(x)$ 在 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 上先减后增，不是单调递减。结论错误。

故选 D


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 周期的定义：周期不一定是正数。若 $f(x+T)=f(x)$ 对定义域内任意 $x$ 恒成立，则 $T$ 为周期。
• 对称性的判定：三角函数的对称轴一定经过波峰或波谷，对称中心一定经过零点。
• 单调性判定技巧：一定要注意“整体代换”后 $u$ 的范围。如果区间跨越了波谷（如本题中的 $\pi$），则在该区间内一定不单调。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 图像平移的视角： $f(x)=\cos (x+\frac{\pi }{3})$ 是将 $y=\cos x$ 向左平移了 $\frac{\pi }{3}$ 个单位。原函数的极小值点在 $x=\pi$，平移后变为 $x=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$。由于 $\frac{2\pi }{3}$ 恰好落在区间 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 内，函数在极值点两侧单调性相反，故 D 必错。

2. 变式思考： 如果题目问 $f(x)$ 的单调递增区间，应解 $2k\pi -\pi \le x+\frac{\pi }{3}\le 2k\pi$，得 $2k\pi -\frac{4\pi }{3}\le x\le 2k\pi -\frac{\pi }{3}$。

3. 易错警示： 在判断 C 选项时，注意是 $f(x+\pi )$ 的零点，不要误代入 $f(x)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷文-16 解-三角函数
• 2014-福建卷文-07 单-三角函数
• 2014-福建卷文-18 解-三角函数