2011-上海卷文-03 填-反函数求值

本题导读

本题考查反函数。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 若函数 $f(x)=2x+1$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$，则 $f^{-1}(-2)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：由 $y=2x+1$ 解出 $x=\frac{y-1}{2}$
2. 步骤2：代值

✅【答案】

点击查看答案

$-\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=2x+1$ 得 $x=\frac{y-1}{2}$，故 $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$。

$f^{-1}(-2)=\frac{-2-1}{2}=-\frac{3}{2}$。（亦可由 $f(-\frac{3}{2})=-2$ 直接得出）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法与求值

核心方法：反解 $x$ 再代值；或利用 $f(a)=b⟺f^{-1}(b)=a$ 省去求反函数

避坑指南：$f^{-1}(-2)$ 是把 $-2$ 代入反函数，不是解 $2x+1=-2$ 后再反解；$-\frac{3}{2}$ 的负号易丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数题与 2015-上海卷文-04、2013-上海卷文-15、2011-大纲卷文-02 同族。

结论推广：推广：$f(a)=b⟺f^{-1}(b)=a$；反函数图象与原图象关于 $y=x$ 对称，可用来检验。

方法推广：反函数求值：优先用互逆关系 $f(x_0)=y_0$ 反推，避免求整条反函数解析式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-04 填-反函数
• 2013-上海卷文-15 单-反函数求值
• 2011-大纲卷文-02 单-反函数