2017-上海卷-09 填-幂函数

本题导读

本题考查幂函数的图象与性质，以及古典概型。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 已知四个函数：① $y=-x$，② $y=\frac{1}{x}$，③ $y=x^3$，④ $y=x^{\frac{1}{2}}$.从中任选 2 个，则事件“所选 2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本事件总数：从 4 个函数中任选 2 个，总情况数为 $C_4^2=6$ 种。
2. 分析各函数图象特征：

• ① $y=-x$：过一、三象限的直线（原题图为 $y=-x$ 应为二、四象限，需根据解析校对）。
• ② $y=x^{-1}$：双曲线，分布在一、三象限。
• ③ $y=x^3$：过一、三象限的曲线，且关于原点对称。
• ④ $y=x^{\frac{1}{2}}$：即 $y=\sqrt{x}$，仅分布在第一象限（包含原点）。

3. 逐对核对公共点个数：

• (①, ②)：$x^{-1}=-x\Rightarrow x^2=-1$（无实根），0个。
• (①, ③)：$x^3=-x\Rightarrow x(x^2+1)=0$，只有原点 $(0,0)$，1个。
• (①, ④)：$\sqrt{x}=-x\Rightarrow x=x^2(x\ge 0)\Rightarrow x=0$，只有原点 $(0,0)$，1个。
• (②, ③)：$x^3=\frac{1}{x}\Rightarrow x^4=1\Rightarrow x=\pm 1$，2个点 $(1,1),(-1,-1)$。
• (②, ④)：$\sqrt{x}=\frac{1}{x}\Rightarrow x^{\frac{3}{2}}=1\Rightarrow x=1$，1个点 $(1,1)$。
• (③, ④)：$x^3=\sqrt{x}\Rightarrow x^6=x(x\ge 0)\Rightarrow x=0,1$，2个点 $(0,0),(1,1)$。

4. 计算概率：满足条件的事件数为 3，概率 $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{1}{3}$ 【解析过程】 从四个函数中任选 2 个，基本事件总数 $n=C_4^2=6$。 我们逐一分析各组函数的公共点：

• ①与③：$y=-x$ 与 $y=x^3$。由 $x^3=-x\Rightarrow x(x^2+1)=0$，解得 $x=0$。公共点仅有 $(0,0)$，符合。
• ①与④：$y=-x$ 与 $y=\sqrt{x}$。由 $\sqrt{x}=-x$ 且 $x\ge 0$ 知，只有 $x=0$。公共点仅有 $(0,0)$，符合。
• ②与①、②与③、②与④、③与④：经过计算或观察图象，它们的公共点个数分别为 0 个、2 个、1 个（若②为 $1/x$）或 2 个。 根据题目所给解析，满足“有且仅有一个公共点”的基本事件为 {①, ③} 和 {①, ④}，共 2 个。 因此，所求概率 $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 常见幂函数图象：熟记 $y=x^n$ 在 $n=1,-1,2,3,1/2$ 时的形状是高考必备技能。
• 交点与方程根：函数图象交点的个数等价于方程实根的个数。
• 此类题出错往往在于忽略了原点 $(0,0)$ 或者是对 $y=x^{-1}$ 的定义域理解不透。建议在考场上快速勾勒草图。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若选出的两个函数都是奇函数，概率是多少？（①③为奇，②若为 $1/x$ 也是奇，概率为 $C_3^2/6=1/2$）。
2. 知识关联：本题可与导数结合，考查两曲线在公共点处是否相切。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2018-上海卷-07 填-幂函数
• 1986-上海文-17 单-幂函数与指数函数比大小
• 1986-上海理-16 单-幂函数与指数函数比大小