05.03 专题-恒成立问题

🟦 恒成立问题

35. 单变量恒成立、能成立问题的最值等价条件： (1) $\forall x\in A$，使得：$f(x)\ge a$，则：f(x)_\min\ge a； (2) $\forall x\in A$，使得：$f(x)\le a$，则：f(x)_\max\le a； (3) $\exists x\in A$，使得：$f(x)\ge a$，则：f(x)_\max\ge a； (4) $\exists x\in A$，使得：$f(x)\le a$，则：f(x)_\min\le a；

36. 双变量恒成立、能成立问题的最值等价条件： (1) $\forall x_1\in A,\forall x_2\in B$，使得：$f(x_1)\ge g(x_2)$，则：f(x)_\min\ge g(x)_\max； (2) $\forall x_1\in A,\exists x_2\in B$，使得：$f(x_1)\ge g(x_2)$，则：f(x)_\min\ge g(x)_\min； (3) $\exists x_1\in A,\forall x_2\in B$，使得：$f(x_1)\ge g(x_2)$，则：f(x)_\max\ge g(x)_\max； (4) $\exists x_1\in A,\exists x_2\in B$，使得：$f(x_1)\ge g(x_2)$，则：f(x)_\max\ge g(x)_\min； (5) $\forall x_1,x_2\in A$，使得：$|f(x_1)-f(x_2)|\le a$，则：f(x)_\max-f(x)_\min\le a； (6) $\exists x_1,x_2\in A$，使得：$|f(x_1)-f(x_2)|\ge a$，则：f(x)_\max-f(x)_\min\ge a；

37. 双变量恒成立、能成立问题的取等等价条件： 已知 $x_1\in A,x_2\in B,f(x_1)\in C,g(x_2)\in D$ (1) $\forall x_1\in A,\exists x_2\in B$，使得：$f(x_1)=g(x_2)$，则：$C\subseteq D$； (2) $\exists x_1\in A,\forall x_2\in B$，使得：$f(x_1)=g(x_2)$，则：$C\supseteq D$； (3) $\exists x_1\in A,\exists x_2\in B$，使得：$f(x_1)=g(x_2)$，则：$C\cap D\ne \varnothing$；

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