2011-上海卷文-12 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 在正三角形 $ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 上的点.若 $AB=3$，$BD=1$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})$
2. 步骤2：注意 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 夹角 $120^{\circ }$

✅【答案】

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$\frac{15}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，故 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}={\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}$。

$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 的夹角为 $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}=3\times 1\times \cos 120^{\circ }=-\frac{3}{2}$。

故原式 $=9-\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$。

（坐标法：$B(0,0)$，$C(3,0)$，$A(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$，$D(1,0)$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=(-\frac{3}{2})(-\frac{1}{2})+(-\frac{3\sqrt{3}}{2})(-\frac{3\sqrt{3}}{2})=\frac{3}{4}+\frac{27}{4}=7.5$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量加法的拆分；数量积中的夹角方向

核心方法：把 $\overrightarrow{AD}$ 沿 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BD}$ 拆开；夹角按”首尾相接”判断（此处 $120^{\circ }$）

避坑指南：$\overrightarrow{AB}$（$A\to B$）与 $\overrightarrow{BD}$（$B\to D$）夹角是 $120^{\circ }$ 而非 $60^{\circ }$；符号错会得 $\frac{21}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量数量积题与 2012-浙江卷文-15、2013-新课标I卷文-13、2012-江苏卷-09 同族。

结论推广：推广：$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$ 当 $D$ 在 $BC$ 上时随 $BD$ 线性变化：$BD=0$ 得 $9$，$BD=3$ 得 $9-4.5=\frac{9}{2}$，本题介于其间。

方法推广：数量积小题：优先拆向量成”已知夹角”的组合；坐标法作验算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-15 填-向量数量积中线模型
• 2013-新课标I卷文-13 填-向量数量积
• 2012-江苏卷-09 填-向量数量积坐标运算