2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数值的符号判定。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 已知 $\alpha \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$，$\tan \alpha =2$，则 $\cos \alpha =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$\tan \alpha =2$ 且 $\alpha$ 在第三象限
2. 步骤2：${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }$ 取负根

✅【答案】

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$-\frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\sec }^2\alpha =1+{\tan }^2\alpha =5$，${\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}$。

$\alpha \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 为第三象限角，$\cos \alpha <0$，故 $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数关系 ${\sec }^2\alpha =1+{\tan }^2\alpha$；象限符号判断

核心方法：先算平方值再定符号：由 $\tan$ 求 $\cos$ 走 $1+{\tan }^2$，最后按象限取正负

避坑指南：第三象限 $\cos$ 为负，取正根 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 会错；$\alpha \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 是第三象限不是第四象限。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同角三角函数求值与 2013-大纲卷文-02（同角三角函数）、2015-福建卷文-06（同角三角函数）同族。

结论推广：推广：已知 $\tan \alpha =k$，则 $\sin \alpha =\frac{k}{\pm \sqrt{1+k^2}}$、$\cos \alpha =\frac{1}{\pm \sqrt{1+k^2}}$，符号由象限统一决定，一次全出。

方法推广：同角求值题：先用平方关系得”平方值”，再由象限定”符号”，两步完成；区间条件是符号的唯一依据。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-02 单-同角三角函数
• 2015-福建卷文-06 单-同角三角函数
• 2012-辽宁卷文-06 单-同角三角函数求值