2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式

本题导读

本题考查导数的几何意义（切线），以及构造函数证明不等式。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{a\ln x}{x+1}+\frac{b}{x}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $x+2y-3=0$.

(1) 求 $a,b$ 的值；

(2) 证明：当 $x>0$，且 $x\ne 1$ 时，$f(x)>\frac{\ln x}{x-1}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) $f(1)=b=1$
2. 步骤2：$f^{\prime }(1)=\frac{a}{2}-1=-\frac{1}{2}$ 得 $a=1$
3. 步骤3：(2) 作差 $f(x)-\frac{\ln x}{x-1}=\frac{2h(x)}{x^2-1}$
4. 步骤4：$h^{\prime }(x)=\frac{(x-1{)}^2}{2x^2}⩾0$

✅【答案】

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(1) $a=1$，$b=1$

(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $\ln 1=0$，所以 $f(1)=b$。切线方程为 $y=\frac{3-x}{2}$，故 $f(1)=1$，从而 $b=1$。

又 $f^{\prime }(x)=\frac{a}{x+1}-\frac{a\ln x}{(x+1{)}^2}-\frac{b}{x^2}$，因此 $f^{\prime }(1)=\frac{a}{2}-1$。切线斜率为 $-\frac{1}{2}$，所以 $\frac{a}{2}-1=-\frac{1}{2}$，得 $a=1$。

（2）此时 $f(x)=\frac{\ln x}{x+1}+\frac{1}{x}$，故

$f(x)-\frac{\ln x}{x-1}=\frac{1}{x}-\frac{2\ln x}{x^2-1}=\frac{2h(x)}{x^2-1}$，

其中 $h(x)=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)-\ln x$。有 $h^{\prime }(x)=\frac{(x-1{)}^2}{2x^2}⩾0$，$h(1)=0$。

所以当 $x>1$ 时 $h(x)>0$，当 $0<x<1$ 时 $h(x)<0$；而 $x^2-1$ 与 $h(x)$ 同号。因此当 $x>0$ 且 $x\ne 1$ 时，$\frac{2h(x)}{x^2-1}>0$，即 $f(x)>\frac{\ln x}{x-1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线方程与导数值的对应；构造 $h(x)=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)-\ln x$ 并用单调性与 $h(1)=0$ 定号

核心方法：作差通分 → 分子构造辅助函数 → $h^{\prime }⩾0$ + $h(1)=0$ 判号 → 分母与分子同号证商为正

避坑指南：$x^2-1$ 在 $x>1$ 时为正、$0<x<1$ 时为负，必须与 $h(x)$ 逐段比对符号（两段同号才得正商）；只在 $x>1$ 一段证完就收尾是不完整的。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数切线与不等式证明题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 21 题、2012 年湖北卷文第 22 题同族。

结论推广：$h(x)=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)-\ln x$ 是”对数平均不等式”一侧的标准函数，$h^{\prime }(x)=\frac{(x-1{)}^2}{2x^2}⩾0$；它在对数比大小、极值点偏移等题中反复出现。

方法推广：证 $f>g$：作差 → 通分成”分子/分母”结构 → 分子构造单调辅助函数并以零点为界判号 → 与分母逐段比对符号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.11 对数单身狗与指数找基友

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-21 解-导数恒成立与隐零点
• 2012-湖北卷文-22 解-切线与导数放缩
• 2012-安徽卷文-17 解-对勾函数与切线