2013-山东卷理-01 单-复数除法

本题导读

本题考查复数，以及复数的四则运算。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 复数 $z$ 满足 $(z-3)(2-i)=5$（$i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 为()

A. $2+i$　　　　　B. $2-i$　　　　　C. $5+i$　　　　　D. $5-i$

🔍【思路分析】

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1. 解方程求 $z$：将 $(z-3)$ 看作整体，通过除法将其孤立，利用分母实数化求出 $z-3$ 的值，进而得到 $z$。
2. 应用共轭定义：已知 $z=a+bi$，则其共轭复数 $\bar{z}=a-bi$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由题意得： $z-3=\frac{5}{2-i}$ 利用分母实数化（分子分母同乘以 $2+i$）： $z-3=\frac{5(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{5(2+i)}{4-i^2}$ 因为 $i^2=-1$，所以： $z-3=\frac{5(2+i)}{5}=2+i$ 解得： $z=5+i$ 根据共轭复数的定义，虚部变号： $\bar{z}=5-i$

故正确答案为：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数除法的运算法则以及共轭复数的表示。

核心方法：分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数。

避坑指南：- 计算 $\frac{5}{2-i}$ 时注意分母应为 $2^2+(-1{)}^2=5$。 - 题目要求的是 $\bar{z}$ 而非 $z$，最后一步务必看清题干要求。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的模 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$；复平面的几何意义。

结论推广：见详细解析。

方法推广：对于复数方程 $az=b$，通常 $z=\frac{b\bar{a}}{|a{|}^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-天津卷文-09 填-复数除法
• 2014-新课标II卷文-02 单-复数除法
• 2014-天津卷文-01 单-复数除法