2014-辽宁卷文-17 解-解三角形

本题导读

(1) 由数量积得 $ac=6$，由余弦定理得 $a^2+c^2=13$，联立解出 $a$、$c$；(2) 由 $\sin B$、$\cos C$ 求 $\cos (B-C)$。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，且 $a>c$，已知 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=2$，$\cos B=\frac{1}{3}$，$b=3$，求：

(1) $a$ 和 $c$ 的值；

(2) $\cos (B-C)$ 的值.

🔍【思路分析】

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(1) $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=ca\cos B$，结合 $\cos B$ 与 $b$ 可用余弦定理凑出 $a+c$；(2) 先求 $\sin B$，再用正、余弦定理分别求 $\sin C$、$\cos C$。

✅【答案】

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(1) $a=3$，$c=2$；(2) $\cos (B-C)=\frac{23}{27}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由向量数量积的定义，$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|\cos B=ca\cos B$。 因为 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=2$，$\cos B=\frac{1}{3}$，所以 $ac=6$。 由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，即 $9=a^2+c^2-4$，得 $a^2+c^2=13$。 于是 $(a+c{)}^2=a^2+c^2+2ac=13+12=25$。又 $a,c>0$，故 $a+c=5$。 所以 $a$，$c$ 是方程 $t^2-5t+6=0$ 的两个正根，解得 $t=2$ 或 $t=3$。 因为 $a>c$，所以 $a=3$，$c=2$。 (2) 由 $\cos B=\frac{1}{3}$ 且 $B\in (0,\pi )$ 得 $\sin B=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。 由正弦定理 $\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}$ 得 $\sin C=\frac{c\sin B}{b}=\frac{2\times \frac{2\sqrt{2}}{3}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$。 由余弦定理 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{9+9-4}{2\times 3\times 3}=\frac{14}{18}=\frac{7}{9}$。 所以 $\cos (B-C)=\cos B\cos C+\sin B\sin C=\frac{1}{3}\times \frac{7}{9}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\times \frac{4\sqrt{2}}{9}=\frac{7}{27}+\frac{16}{27}=\frac{23}{27}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解三角形（正、余弦定理）

2. 核心方法：数量积定 $ac$，余弦定理定 $a^2+c^2$

3. 避坑指南：由 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=2$ 与 $\cos B=\frac{1}{3}$ 得 $ac=6$，再由余弦定理得 $a^2+c^2=13$，两式联立解出 $a=3$，$c=2$；用 $a>c$ 舍去另一组解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量的数量积与解三角形。

2. 结论推广: $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|\cos B=ca\cos B$；余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。

3. 方法推广: 解三角形中「已知一角及其对边」时，正、余弦定理都能用；本题先用数量积与余弦定理定边，再用正弦定理求角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-17 解-向量数量积
• 2014-北京卷理-15 解-正弦定理