13.02 外接球和内切球模型

🟦 球体模型与四面体性质 (Spheres & Tetrahedrons)

核心心法

“外接靠投影，内切等体积”。外接球的核心在于寻找球心，通常通过寻找底面外心并垂直向上延伸来锁定；内切球的核心在于分割与加和，通过等体积法将复杂的几何体拆解为以球心为顶点的锥体。掌握长方体补形法与轴截面分析法是解决球体组合问题的捷径。

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一、 外接球模型 (Circumscribed Spheres)

1. 还原长方体法

• 使用范围：几何体可内接于长方体，且各顶点与长方体顶点重合。
• 核心逻辑：长方体的体对角线即为外接球的直径。
• 核心公式：$(2R{)}^2=a^2+b^2+c^2⟹R=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}$

2. 直棱柱（锥）模型

• 使用范围：有一条侧棱垂直于底面的柱体或锥体。
• 推导过程：
  1. 取底面外心 $O_1$，过 $O_1$ 作高的平行线。
  2. 该线段中点即球心。利用勾股定理：$R^2=r^2+(\frac{h}{2}{)}^2$。
• 核心公式：$R^2=r^2+\frac{h^2}{4}$

3. 正棱锥模型

• 使用范围：正棱锥或顶点投影在底面外心上。
• 推导过程：
  1. 球心 $O$ 必在顶点射影与底面外心连线 $P{O}_1$ 上。
  2. 算出底面外接圆半径 $r$ 及棱锥高 $h$。
  3. 根据 $R^2=(h-R{)}^2+r^2$ 解出 $R$。
• 核心公式：$R=\frac{r^2+h^2}{2h}$

4. 两面垂直模型

• 使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥。
• 核心公式：$R^2=r_1^2+r_2^2-\frac{l^2}{4}$
• 注：$r_1,r_2$ 为两个垂直面的外接圆半径，$l$ 为公共棱长。

5. 二面角型 (通用模型)

• 使用范围：适用于所有已知二面角的棱锥。
• 核心公式：$R^2=\frac{m^2+n^2-2mn\cos \alpha }{{\sin }^2\alpha }+\frac{l^2}{4}$
• 参数说明：$\alpha$ 为二面角，$m,n$ 为两面外心到公共弦距离，$l$ 为公共弦长。

6. 旋转体

(1) 圆锥的外接球

基本参数设定 设圆锥的几何参数如下： - 底面半径：$r$ - 圆锥的高：$h$ - 外接球半径：$R$ - 球心到底面的距离：$x$，则球心到顶点的距离为 $h-x$

核心方程建立 根据外接球的定义，球心到底面圆周上任意一点的距离，以及到圆锥顶点的距离，都等于外接球半径 $R$。 因此可得方程组： $\{\begin{array}{l}{R}^2=r^2+x^2\\ R=h-x\end{array}$

求解球心位置 $x$ 将第二个方程 $R=h-x$ 变形为 $x=h-R$，代入第一个方程： $R^2=r^2+(h-R{)}^2$ 展开并整理方程： $R^2=r^2+h^2-2hR+R^2$ 消去 $R^2$ 项，解出 $R$： $0=r^2+h^2-2hR$ $2hR=r^2+h^2$ $R=\frac{r^2+h^2}{2h}$

圆锥外接球半径的通用公式为： $\boxed{R=\frac{r^2+h^2}{2h}}$

几何意义与简化形式 我们也可以利用圆锥的母线长 $l$ 来表示这个公式。 圆锥的母线长为： $l=\sqrt{r^2+h^2}$ 因此，外接球半径也可以写成： $R=\frac{l^2}{2h}$ 这表明，圆锥的外接球半径等于母线的平方除以两倍的高。 -

核心结论 圆锥外接球半径的通用公式： $\mathbf{R}=\frac{{\mathbf{r}}^2+{\mathbf{h}}^2}{2\mathbf{h}}=\frac{{\mathbf{l}}^2}{2\mathbf{h}}$

(2) 圆台的外接球

圆台外接球半径推导

设圆台的几何参数如下：

• 上底面半径：$r$
• 下底面半径：$R$
• 圆台的高：$h$
• 外接球半径：$S$
• 球心到下底面的距离：$d$，则球心到上底面的距离为 $h-d$

根据外接球的定义，球心到上下底面圆周上任意一点的距离均等于外接球半径 $S$，因此可得方程组： $\{\begin{array}{l}{S}^2=R^2+d^2\\ S^2=r^2+(h-d{)}^2\end{array}$

联立上述方程组，消去 $S^2$： $R^2+d^2=r^2+(h-d{)}^2$ 展开并整理方程： $R^2+d^2=r^2+h^2-2hd+d^2$ 消去 $d^2$ 项，解出 $d$： $R^2=r^2+h^2-2hd$ $d=\frac{r^2+h^2-R^2}{2h}$

将求得的 $d$ 代入 $S^2=R^2+d^2$，可得圆台外接球半径的通用公式： $\boxed{S=\sqrt{R^2+{\left(\frac{r^2+h^2-R^2}{2h}\right)}^2}}$

核心结论

圆台外接球半径的通用公式： $\mathbf{S}=\sqrt{{\mathbf{R}}^2+{\left(\frac{{\mathbf{r}}^2+{\mathbf{h}}^2-{\mathbf{R}}^2}{2\mathbf{h}}\right)}^2}$

二、 内切球模型 (Inscribed Spheres)

1. 常用几何体内切球

• 正方体：$R=\frac{a}{2}$ (球心在对角线中点)。
• 直棱柱：仅当 $h=2r$ (底面内切圆半径) 时存在，此时 $R=r$。
• 圆柱：仅当轴截面为正方形时存在，此时 $R=r=\frac{h}{2}$。

2. 正棱锥 (轴截面法)

• 正棱锥：利用相似三角形 $△POE\backsim △PDH$。
• 正四棱锥：通过对边中点的轴截面三角形 $PEF$ 的内切圆半径即为球半径。

相似法求解正棱锥内切球半径：（以下以正三棱锥为例） 如图，由正三棱锥内切球球心 $O$ 在高线上，则球与侧面的切点 $E$ 在侧面的高线 $PD$ 上，与底面的切点 $H$ 为高线垂足，易知 $△POE\backsim △PDH$，故利用 $\frac{OE}{DH}=\frac{PO}{PD}$ 可解出内切球半径 $R$。

3. 任意棱锥 (等体积法)

• 核心结论：$R=\frac{3V}{S_{\text{表}}}$
• 推导原理：$V_{\text{总}}=\sum V_{O-\text{面}}=\frac{1}{3}R(S_1+S_2+\cdots +S_n)=\frac{1}{3}R{S}_{\text{表}}$。
• 注：三棱锥一定有内切球，四棱锥及以上不一定有。

4. 圆锥

• 圆锥：利用轴截面等腰三角形的内切圆计算。
• 半径公式：$R=\frac{rh}{r+\sqrt{h^2+r^2}}$

相似法求解正棱锥内切球半径：（以下以正三棱锥为例） 如图，由正三棱锥内切球球心 $O$ 在高线上，则球与侧面的切点 $E$ 在侧面的高线 $PD$ 上，与底面的切点 $H$ 为高线垂足，易知 $△POE\backsim △PDH$，故利用 $\frac{OE}{DH}=\frac{PO}{PD}$ 可解出内切球半径 $R$。

三、 常见几何体半径汇总表

几何体 (棱长为 $a$)	内切球半径 $R_{内}$	外接球半径 $R_{外}$
正方体	$\frac{1}{2}a$	$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
正四面体	$\frac{\sqrt{6}}{12}a$	$\frac{\sqrt{6}}{4}a$

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四、 四面体 (三棱锥) 的重要性质

1. 补形与嵌入性质

• (1) 对棱相等：必内接于唯一的长方体，对棱为长方体面对角线。
• (2) 正四面体：可补为正方体，正方体棱长 $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$。
• (3) 垂直特征：三条棱两两垂直或四个面均为直角三角形，均可嵌入长方体。
• (6) 平行六面体：任一四面体均内接于唯一的平行六面体，$V_{\text{四面体}}=\frac{1}{3}{V}_{\text{平行六面体}}$。

2. 投影与角的关系 (核心判定)

• (7) 侧棱长相等 $⟺$ 顶点射影为外心 $⟺$ 侧棱与底面角相等。
• (8) 顶点到底面距离相等 $⟺$ 顶点射影为内心 $⟺$ 侧面与底面二面角相等。
• (9) 对棱垂直 $⟺$ 顶点射影为垂心。

3. 中点与体积性质

• (10) 连接两组对棱中点构成平行四边形。
• (11) 过一组对棱中点的任一平面必平分该四面体的体积。

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

旋转体的“万能轴截面”

无论是圆柱、圆锥还是球，凡是涉及旋转体及其内切/外接关系，第一步永远是画出轴截面。将 3D 问题转化为 2D 平面几何（内切圆/外接圆）问题，计算量将缩减 70%。

内切球半径公式的单位性

在使用 $R=3V/S$ 时，务必保证体积 $V$ 和表面积 $S$ 的计算包含所有面。对于不规则棱锥，先确认内切球是否存在（球心到各面距离是否能相等）。

长方体对角线的物理意义

在处理“三条侧棱两两垂直”的题目时，不要直接去算复杂的几何关系。直接构造长方体，$R^2=(a^2+b^2+c^2)/4$ 是最不容易出错的公式。