2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算

本题导读

$a+2b=(1-6,-2+8)=(-5,6)$，与 $c=(3,2)$ 作数量积得 $-15+12=-3$.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） 设 $a=(1,-2)$，$b=(-3,4)$，$c=(3,2)$，则 $(a+2b)\cdot c=$()

A. $(-15,12)$　　　　　　B. $0$　　　　　　C. $-3$　　　　　　D. $-11$

🔍【思路分析】

破题导航

向量加减按坐标分别进行，$a+2b=(-5,6)$；数量积是实数 $(-5)\times 3+6\times 2=-3$.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(1-6,-2+8)=(-5,6)$. $(a+2b)\cdot c=(-5)\times 3+6\times 2=-15+12=-3$. 数量积的结果是数量，选项 A 给出的是向量形式，可先排除；故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的坐标运算与数量积

核心方法：先做坐标加法数乘，再用数量积坐标公式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2$

避坑指南：数量积结果是数量不是向量，看到选项 $(15,12)$ 这类坐标形式先排除；数乘要作用到每个分量

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量坐标运算的基础题，考查加法数乘与数量积的线性性质

结论推广：$(a+2b)\cdot c=a\cdot c+2b\cdot c$，数量积对数乘可分配，可用分配律少算一步

方法推广：坐标运算题先列式后代入，减少中间误差；多个向量混合运算按”先线性后内积”的顺序

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2015-湖北卷文-11 填-向量数量积
• 2011-湖北卷文-02 单-向量夹角
• 2009-湖北卷文-01 单-向量线性表示
• 2008-湖北卷理-01