18.06 离心率专题

🟦 离心率专题

1. 椭圆的特征三角形与离心率

2. 短轴端点处 $\angle {\mathbf{F}}_1\mathbf{P}{\mathbf{F}}_2$ 张角最大

(1) 已知椭圆 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$ 的左、右两焦点分别为 $F_1,F_2$，$P$ 是椭圆上一动点，在焦点三角形 $P{F}_1{F}_2$ 中，若 $\angle F_{1}P{F}_2$ 最大，则点 $P$ 为椭圆短轴的端点。

(2) 已知椭圆 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$ 的左、右两焦点分别为 $F_1,F_2$，

若椭圆上存在一点 $P$，使得 $\angle F_{1}P{F}_2=\theta$，则椭圆离心率 $\mathbf{e}\in \left[\sin \frac{\mathbf{\theta }}{2},1\right)$

(3) $\overrightarrow{\mathbf{P}{\mathbf{F}}_1}\cdot \overrightarrow{\mathbf{P}{\mathbf{F}}_2}\in \left[{\mathbf{b}}^2-{\mathbf{c}}^2,{\mathbf{b}}^2\right]$

3. 双曲线离心率与渐近线

4. 直角 $\angle {\mathbf{F}}_1\mathbf{P}{\mathbf{F}}_2$ 的约束

4.1 椭圆篇 $|P{F}_2|=2c\sin \alpha ,|P{F}_1|=2c\cos \alpha$，

由 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$，代入得 $2c\sin \alpha +2c\cos \alpha =2a$

解得 $\mathbf{e}=\frac{1}{\sin \mathbf{\alpha }+\cos \mathbf{\alpha }}=\frac{1}{\sqrt{2}\sin \left(\mathbf{\alpha }+\frac{\mathbf{\pi }}{4}\right)}$

根据 $\alpha$ 范围求解离心率值域。

4.2 双曲线篇

同理，$|P{F}_2|=2c\sin \alpha ,|P{F}_1|=2c\cos \alpha$，

由 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$，代入得 $2c\cos \alpha -2c\sin \alpha =2a$

解得 \boldsymbol{e=\frac{1}{\cos\alpha-\sin\alpha}=\frac{1{\sqrt{2}\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)}}

5. 渐近线勾股三角形与离心率

双曲线 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}-\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>0,\mathbf{b}>0)$ 的焦点到渐近线的距离为定值 $b$。

由于渐近线 $OA$ 的斜率为 $\frac{b}{a}$，又 $OF=c$，$a^2+b^2=c^2$，显然 $AF$ 的长度是定值 $b$。 过双曲线 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}-\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>0,\mathbf{b}>0)$ 的左焦点 $F_1(-c,0)(c>0)$ 作圆 $x^2+y^2=a^2$ 的切线，切点为 $P$，则点 $P$ 在渐近线 $y=-\frac{b}{a}x$ 上，也在左准线 $x=-\frac{a^2}{c}$ 上，即 $\mathbf{P}\left(-\frac{{\mathbf{a}}^2}{\mathbf{c}},\frac{\mathbf{ab}}{\mathbf{c}}\right)$

6. 双曲线坐标特征三角形

以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆与双曲线 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}-\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>0,\mathbf{b}>0)$ 的渐近线在第一象限内的交点坐标为 $(\mathbf{a},\mathbf{b})$。

题目常以“点 $P$ 在渐近线上，且 $P{F}_1\perp P{F}_2$”的形式给出该条件。

7. 焦点到渐近线垂线构造的相似直角三角形

(1) 如图1，当离心率 $\mathbf{e}=\sqrt{2}$ 时，过焦点作渐近线垂线，不会形成直角三角形；

(2) 如图2，当离心率 $\mathbf{e}>\sqrt{2}$ 时，过焦点 $F_2$ 作渐近线 $l_1$ 垂线 $MN(k_{MN}<0)$，交 $l_2$ 于第二象限点 $N$，若 $\overrightarrow{NM}=\lambda \overrightarrow{M{F}_2}$，则双曲线离心率

$\mathbf{e}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{\mathbf{\lambda }+1}{\mathbf{\lambda }}}$

(3) 如图3，当离心率 $\mathbf{e}<\sqrt{2}$ 时，过焦点 $F_2$ 作渐近线 $l_1$

垂线 $MN(k_{MN}<0)$，交 $l_2$ 于第四象限点 $N$，若 $\overrightarrow{N{F}_2}=\lambda \overrightarrow{F_{2}M}$，

则双曲线离心率 $\mathbf{e}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{\mathbf{\lambda }}{\mathbf{\lambda }+1}}$

8. 椭圆双曲线的通径体三角形

若 $A{F}_2\perp F_1{F}_2$，易知 $|\mathbf{A}{\mathbf{F}}_2|=\frac{{\mathbf{b}}^2}{\mathbf{a}}$.

若 $\overrightarrow{A{F}_1}=\lambda \overrightarrow{F_{1}B}(\lambda >1)$，则

$|A{F}_1|=\frac{\lambda +1}{2}\cdot \frac{b^2}{a}$

由椭圆定义 $|A{F}_1|+|A{F}_2|=2a$，

得 $\frac{\lambda +3}{2}\cdot \frac{b^2}{a}=2a⟹\frac{\lambda +3}{4}(1-e^2)=1$

解得 $\mathbf{e}=\sqrt{\frac{\mathbf{\lambda }-1}{\mathbf{\lambda }+3}}$ （无需记忆，可现场推导）

双曲线同理，若 $A{F}_2\perp F_1{F}_2$，易知 $|A{F}_2|=\frac{b^2}{a}$

若 $\overrightarrow{A{F}_1}=\lambda \overrightarrow{B{F}_1}(\lambda >1)$，

则 $|A{F}_1|=\frac{\lambda -1}{2}\cdot \frac{b^2}{a}$

由双曲线定义 $|A{F}_1|-|A{F}_2|=2a$，

得 $\frac{\mathbf{\lambda }-3}{2}\cdot \frac{{\mathbf{b}}^2}{\mathbf{a}}=2\mathbf{a}$.

9. 椭圆与双曲线的焦弦直角体与离心率

1. 左图：若 $A{F}_2\perp AB$，$\overrightarrow{A{F}_1}=\lambda \overrightarrow{F_{1}B}$，$\angle A{F}_1{F}_2=\alpha$， 借助公式 $e\cos \alpha =\frac{|\lambda -1|}{\lambda +1}$

代入 $\frac{c}{a}\cdot \frac{\lambda +1}{2}\cdot \frac{b^2}{a}\cdot \frac{1}{2c}=\frac{\lambda -1}{\lambda +1}$

可求 $a,b$ 关系，进而求离心率（$\lambda >1$）.

2. 右图：若 $B{F}_2\perp AC$，$AB$ 过原点，$\overrightarrow{A{F}_2}=\lambda \overrightarrow{F_{2}C}(0<\lambda <1)$，补全矩形得 $A{F}_1\perp AC$，且 $|A{F}_2|=\frac{\lambda +1}{2}\cdot \frac{b^2}{a}$

同理代入

$\frac{c}{a}\cdot \frac{\lambda +1}{2}\cdot \frac{b^2}{a}\cdot \frac{1}{2c}=\frac{1-\lambda }{\lambda +1}$ 求离心率.

3. 双曲线补充结论 若直线 $AB$ 交双曲线两支于 $A,B$，$|\overrightarrow{AF}|=\lambda |\overrightarrow{FB}|(\lambda >1)$，

则 $|\overrightarrow{AF}|=\frac{\lambda -1}{2}\cdot \frac{b^2}{a}$

当 $\angle AF{F}^{\prime }=\alpha$ 时：

$\mathbf{e}\cos \mathbf{\alpha }=\frac{\mathbf{\lambda }+1}{\mathbf{\lambda }-1}$

$\lambda$ 未知时用勾股定理求解.

10. 椭圆与双曲线的等腰三角形与离心率问题

椭圆（左图）

若 $|AB|=|A{F}_2|$，$\overrightarrow{A{F}_1}=\lambda \overrightarrow{F_{1}B}(\lambda >1)$，

令 $|AB|=|A{F}_2|=m$，

则 $|A{F}_1|=2a-m,|B{F}_1|=2m-2a,|B{F}_2|=4a-2m$

由 $|A{F}_1|=\lambda |B{F}_1|$，

即 $2a-m=\lambda (2m-2a)$ 解出 $m$，再结合定义/余弦定理求离心率。

双曲线（右图）

若 $|AB|=|B{F}_1|$，$\overrightarrow{B{F}_2}=\lambda \overrightarrow{F_{2}A}(\lambda >1)$，

令 $|AB|=|B{F}_1|=m$，

则 $|B{F}_2|=m-2a,|A{F}_2|=2a$

由 $|A{F}_2|=2a=\frac{\lambda +1}{2\lambda }\cdot \frac{b^2}{a}$

可求出 $\frac{{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{a}}^2}$，进而得离心率。

11. 双曲线的 $4a$ 底边等腰三角形

若 $|F_{2}A|=|F_{2}B|=m$ 与 $|\mathbf{AB}|=4\mathbf{a}$ 互为充要条件。

核心技能

$|AB|=4a=\frac{2a{b}^2}{c^2{\cos }^2\alpha -a^2}⟹e^2({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )=1⟹{\mathbf{e}}^2=\frac{1+{\mathbf{k}}^2}{1-{\mathbf{k}}^2}$

补充定理

当 $|F_{2}A|=|F_{2}B|$ 或 $|AB|=4a$ 时，令 $\angle A{F}_1{F}_2=\alpha$， $M$ 为 $AB$ 中点，

则： (1) $|F_{1}M|=|F_{2}B|$

(2) $\mathbf{e}=\frac{1}{\sqrt{\cos 2\mathbf{\alpha }}}$.