06.01 幂指对函数图象与性质

🟦 基本初等函数图象与性质 (Elementary Functions)

核心心法

图象是函数的灵魂。 掌握指数、对数、幂函数的核心在于：通过底数/指数的数值特征，快速勾勒图象形态，并利用图象直观解决比较大小、恒成立及单调性问题。

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一、 指数函数图象 (Exponential Functions)

1. 概念与基本图象

一般地，函数 $y=a^x$（$a>0$ 且 $a\ne 1$）叫做指数函数，定义域为 $\mathbb{R}$。

2. 底数大小与图象位置关系

对于图象 (1) $y=a^x$；(2) $y=b^x$；(3) $y=c^x$；(4) $y=d^x$：

• 底数排序：$0<b<a<1<d<c$。
• 分布特征：
  • 当 $x\in (0,+\infty )$ 时，底大幂大：$b^x<a^x<d^x<c^x$；
  • 当 $x\in (-\infty ,0)$ 时，底小幂大：$b^x>a^x>d^x>c^x$。

3. 对称性与特殊示例

• 关于 $y$ 轴对称：$y=a^x$ 与 $y=(\frac{1}{a}{)}^x$ 的图象互为镜像。
• 典型对比（以 $y=2^x,y=3^x$ 为例）：
  • $y=3^x$ 与 $y=(\frac{1}{3}{)}^x$ 对称；$y=2^x$ 与 $y=(\frac{1}{2}{)}^x$ 对称。
  • 在 $x>0$ 时：$3^x>2^x>(\frac{1}{2}{)}^x>(\frac{1}{3}{)}^x$。
  • 在 $x<0$ 时：$(\frac{1}{3}{)}^x>(\frac{1}{2}{)}^x>2^x>3^x$。

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二、 对数函数图象 (Logarithmic Functions)

1. 概念与基本图象

函数 $y={\log }_{a}x$（$a>0$ 且 $a\ne 1$），定义域为 $(0,+\infty )$。

2. 底数变化规律

在第一象限内（同一坐标系）：

• $a>1$ 时：底数 $a$ 越大，图象越靠近 $x$ 轴；
• $0<a<1$ 时：底数 $a$ 越大（越接近 1），图象越远离 $x$ 轴。

3. 特殊函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 的深度性质

基于该函数图象，有以下重要结论：

• 单调性：在 $(0,e)$ 上递增，在 $(e,+\infty )$ 上递减；$x=e$ 时取得最大值 $\frac{1}{e}$。
• 特征点：极大值点左偏，且有 $f(2)=f(4)$。
• 幂的大小比较 ($a^b$ 与 $b^a$)：
  • 当 $e\ge a>b>0$ 时，$a^b>b^a$；
  • 当 $a>b\ge e$ 时，$a^b<b^a$。

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三、 指对函数拓展性质 (奇偶性与单调性)

1. 与指数函数有关的常用模型

• 奇函数：
  • (1) $f(x)=\frac{a^x-a^{-x}}{2}$（常用形式 $\frac{1}{2}[a^x+(-\frac{1}{a^x})]$ 判断单调性）。
  • (2) $f(x)=\frac{a^x-1}{a^x+1}$（变形为 $f(x)=1-\frac{2}{a^x+1}$ 判定单调性）。
• 偶函数：
  • (3) $f(x)=a^{|x|}$。

2. 与对数函数有关的常用模型

• 奇函数：
  • (1) $f(x)={\log }_a(\sqrt{x^2+1}+x)$：单调性随 $a$ 变化。
  • (2) $f(x)={\log }_a\frac{1-x}{1+x}$（变形为 ${\log }_a(\frac{2}{1+x}-1)$ 判定单调性）。
• 偶函数：
  • (3) $f(x)={\log }_a|x|$（注意与 $y=|{\log }_{a}x|$ 图象的区别）。

3. 复合对数函数 $f(x)={\log }_m(a{x}^2+bx+c)$

• 若定义域为 $\mathbb{R}$（真数恒正）：$\{\begin{array}{l}a=b=0,c>0\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}a>0,\Delta <0\end{array}$。
• 若值域为 $\mathbb{R}$（真数能取遍正实数）：$\{\begin{array}{l}a=0,b\ne 0\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}a>0,\Delta \ge 0\end{array}$。

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四、 幂函数图象性质 (Power Functions)

1. 核心定义

函数 $y=x^{\alpha }$。重点掌握 $\alpha =1,2,3,\frac{1}{2},-1$ 时的形态。

2. 图象规律

• 公共点：所有幂函数在 $(0,+\infty )$ 均有定义，且必过点 $(1,1)$。
• $\alpha >0$ 时：图象过原点，在 $[0,+\infty )$ 上递增。
  • $\alpha >1$：图象下凹，变化快；
  • $0<\alpha <1$：图象上凸，变化慢。
• $\alpha <0$ 时：在 $(0,+\infty )$ 上递减，图象无限逼近坐标轴。
• 底数分布：在直线 $x=1$ 右侧，图象从下往上，幂指数由小到大分布。

3. 指数奇偶性的图象分布

指数 $y=x^{\frac{m}{n}}$ 特征	图象分布位置	对称性
分母 $n$ 为偶数	仅第一象限	无
分子 $m$ 为偶数	第一、二象限	关于 $y$ 轴对称
分子、分母均为奇数	第一、三象限	关于原点对称

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

“指对幂”大小比较三步走

1. 找中间值：优先看是否能以 $0,1$ 为界分出档次。
2. 同底/同指转换：若底数不同，尝试利用换底公式或幂的性质统一。
3. 数形结合：画出对应函数的草图，观察在 $x=1$ 左右的分布。

对数定义域的陷阱

处理复合对数函数 $y={\log }_a[f(x)]$ 时，真数 $f(x)>0$ 是永恒的第一前提，不论题目要求单调性还是最值。

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