18.02 双曲线专题全总结

🟦 双曲线专题全总结 (The Hyperbola Comprehensive Guide)

核心心法

“差值定双支，渐近显精魂”。双曲线与椭圆最大的不同在于其开放性的结构与特有的渐近线。解题时，除了关注距离之差为 $2a$ 外，更要深刻理解渐近线作为“骨架”的约束作用。在处理焦长与角度问题时，务必根据动点所在的“支”进行分类讨论，严防符号错误。

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一、双曲线第一定义

1. 第一定义 平面内与两个定点 $F_1,F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数（小于 $|F_1{F}_2|$）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。 $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a(0<2a<|F_1{F}_2|=2c)$ 即：$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=\pm 2a⟺\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

轨迹判断：

• $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a<|F_1{F}_2|$，轨迹仅表示双曲线的右支；
• $|P{F}_2|-|P{F}_1|=2a<|F_1{F}_2|$，轨迹仅表示双曲线的左支；
• $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a=|F_1{F}_2|$，轨迹是直线上以 $F_1,F_2$ 为端点向外的两条射线；
• $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a>|F_1{F}_2|$，轨迹不存在。

2. 几何性质

焦点的位置	焦点在 $x$ 轴上	焦点在 $y$ 轴上
图形
标准方程	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）	$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）
范围	$x\le -a$ 或 $x\ge a,y\in R$	$y\le -a$ 或 $y\ge a,x\in R$
顶点	$A_1(-a,0),A_2(a,0)$	$A_1(0,-a),A_2(0,a)$
轴长	虚轴长 $2b$，实轴长 $2a$	虚轴长 $2b$，实轴长 $2a$
焦点	$F_1(-c,0),F_2(c,0)$	$F_1(0,-c),F_2(0,c)$
焦距	$|F_1{F}_2|=2c$	$|F_1{F}_2|=2c$
$a,b,c$ 的关系	$c^2=b^2+a^2$（$a=b$ 时为等轴双曲线）	$c^2=b^2+a^2$（$a=b$ 时为等轴双曲线）
离心率	$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$（$e>1$）	$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$（$e>1$）
渐近线	$y=\pm \frac{b}{a}x$	$y=\pm \frac{a}{b}x$
通径	过焦点且垂直于实轴的弦，长度为 $\frac{2b^2}{a}$	过焦点且垂直于实轴的弦，长度为 $\frac{2b^2}{a}$

二、双曲线第二定义

1. 第二定义 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 $e(e>1)$ 的点的轨迹；其中，定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 $e$ 叫做离心率。 $\frac{|PF|}{d}=e,e\in (1,+\infty )$。 当 $F(c,0)$，$l:x=\frac{a^2}{c}$，$e=\frac{c}{a}$ 时，$\frac{\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}}{\left|\frac{a^2}{c}-x\right|}=\frac{c}{a}$，方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。

2. 焦长坐标公式 设 $P(x_0,y_0)$ 为双曲线上的一点：

(1) 焦点在 $x$ 轴： - $P$ 在左支：$\{\begin{array}{l}|P{F}_1|=-a-e{x}_0\\ |P{F}_2|=a-e{x}_0\end{array}$ - $P$ 在右支：$\{\begin{array}{l}|P{F}_1|=a+e{x}_0\\ |P{F}_2|=-a+e{x}_0\end{array}$

(2) 焦点在 $y$ 轴： - $P$ 在下支：$\{\begin{array}{l}|P{F}_1|=-a-e{y}_0\\ |P{F}_2|=a-e{y}_0\end{array}$ - $P$ 在上支：$\{\begin{array}{l}|P{F}_1|=a+e{y}_0\\ |P{F}_2|=-a+e{y}_0\end{array}$

3. 焦长角度公式 设 $A$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 上一点，$\angle A{F}_1{F}_2=\alpha$，直线 $AB$ 过点 $F_1$：

(1) 当 $AB$ 交双曲线于一支时： - $|A{F}_1|=\frac{b^2}{a+c\cos \alpha }$ - $|B{F}_1|=\frac{b^2}{a-c\cos \alpha }$ - $|AB|=\frac{2a{b}^2}{a^2-c^2{\cos }^2\alpha }$

(2) 当 $AB$ 交双曲线于两支时： - $|A{F}_1|=\frac{b^2}{a+c\cos \alpha }$ - $|B{F}_1|=\frac{b^2}{c\cos \alpha -a}$ - $|AB|=\frac{2a{b}^2}{c^2{\cos }^2\alpha -a^2}$

三、双曲线第三定义

双曲线上任意一点到两关于原点对称定点连线的斜率之积为定值 $\frac{b^2}{a^2}$（或 $e^2-1,e>1$）的点的轨迹是双曲线；通常定点为实轴或虚轴顶点，定值为正值。

证明：设 $M(x,y)$ 是双曲线上任意一点，两个定点为 $A_1(x_1,y_1)$,$A_2(-x_1,-y_1)$，常数 $e=\frac{c}{a}$，则： $k_{M{A}_1}\cdot k_{M{A}_2}=\frac{y-y_1}{x-x_1}\cdot \frac{y+y_1}{x+x_1}=\frac{y^2-y_1^2}{x^2-x_1^2}$

根据双曲线方程，将 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 变形为 $y^2=\frac{b^2{x}^2}{a^2}-b^2$，

代入可得： $k_{M{A}_1}\cdot k_{M{A}_2}=\frac{b^2}{a^2}$，即双曲线上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数。

四、双曲线焦点三角形大总结

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 焦点为 $F_1,F_2$，$B$ 为双曲线上的点，$\angle F_{1}B{F}_2=\alpha$。

（1）$|B{F}_1|\cdot |B{F}_2|=\frac{2b^2}{1-\cos \alpha }$

（2）焦点三角形的面积：$S_{△F_{1}B{F}_2}=\frac{b^2}{\tan \frac{\alpha }{2}}$

证明： $\{\begin{array}{l}|m-n|=2a\\ (2c{)}^2=m^2+n^2-2mn\cos \alpha \\ S_{△F_{1}B{F}_2}=\frac{1}{2}mn\sin \alpha \end{array}$

由前两式可得 $mn=\frac{2b^2}{1-\cos \alpha }$，

代入面积公式： $S_{△F_{1}B{F}_2}=b^2\cdot \frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha }=b^2\cdot \frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}{2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{b^2}{\tan \frac{\alpha }{2}}$

（3）内切圆的圆心横坐标一定等于 $|a|$。

证明：$|F_{1}D|-|F_{2}D|=|F_{1}B|-|F_{2}B|=2a=(c+x_D)-(c-x_D)$，解得 $x_D=a$。

五、双曲线渐近线问题

1. 渐近线方程

• 焦点在 $x$ 轴上：$y=\pm \frac{b}{a}x$
• 焦点在 $y$ 轴上：$y=\pm \frac{a}{b}x$

推导：令双曲线方程右侧为 $0$，即 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$，因式分解得 $(\frac{x}{a}+\frac{y}{b})(\frac{x}{a}-\frac{y}{b})=0$，即为渐近线方程。

2. 定点到渐近线的距离 - 双曲线 $C$ 的焦点到两条渐近线的距离为常数 $b$； - 顶点到两条渐近线的距离为常数 $\frac{ab}{c}$。

3. 双曲线上的点到渐近线的距离之积 双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 上任意一点 $P$ 到两条渐近线的距离的乘积为常数 $\frac{a^2{b}^2}{c^2}$。

证明：设点 $P(x_1,y_1)$，渐近线为 $bx\pm ay=0$，则距离之积为： $\frac{|b{x}_1-a{y}_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \frac{|b{x}_1+a{y}_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|b^2{x}_1^2-a^2{y}_1^2|}{a^2+b^2}=\frac{a^2{b}^2}{c^2}$

4. 焦点到圆的切点位置 过双曲线左焦点 $F_1(-c,0)$ 作圆 $x^2+y^2=a^2$ 的切线，切点为 $P$，则点 $P$ 在渐近线 $y=-\frac{b}{a}x$ 上，也在左准线 $x=-\frac{a^2}{c}$ 上，即 $P(-\frac{a^2}{c},\frac{ab}{c})$。

5. 以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆与渐近线的交点 以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆 $x^2+y^2=c^2$ 与双曲线在第一象限内的渐近线 $y=\frac{b}{a}x$ 的交点坐标为 $(a,b)$。

证明：设 $P(am,bm)$，代入圆方程得 $a^2{m}^2+b^2{m}^2=c^2$，解得 $m=1$，故 $P(a,b)$。

6. 双曲线的方程与渐近线方程的关系

（1）若双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，则其渐近线方程可由： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$

化简得到： $y=\pm \frac{b}{a}x$

（2）若渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，即 $\frac{x}{a}\pm \frac{y}{b}=0$，则双曲线方程可设为： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$

（3）若双曲线与 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 有公共渐近线，可设为： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$ 其中，$\lambda >0$ 时，焦点在 $x$ 轴上；$\lambda <0$ 时，焦点在 $y$ 轴上。

7. 与双曲线的渐近线有关的 $e^2-1$ 性质

（1）若 $A,B$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的渐近线上的两个点，$M$ 是 $AB$ 的中点，则直线 $AB$ 与 $OM$ 的斜率之积为 $e^2-1$，即： $k_{AB}\cdot k_{OM}=e^2-1=\frac{b^2}{a^2}$

（2）若 $A,B$ 是双曲线 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的渐近线上的两个点，$M$ 是 $AB$ 的中点，则直线 $AB$ 与 $OM$ 的斜率之积为 $\frac{1}{e^2-1}$，即： $k_{AB}\cdot k_{OM}=\frac{1}{e^2-1}=\frac{a^2}{b^2}$

6. 过定点的直线与双曲线交点个数问题

设斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过定点 $P(0,t)(t\ne 0)$，双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，过点 $P$ 与双曲线相切时的斜率为 $k_0$。

(1) 当 $0\le |k|<\frac{b}{a}$ 时，直线 $l$ 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；

(2) 当 $|k|=\frac{b}{a}$ 时，直线 $l$ 与双曲线只有一个交点；

(3) 当 $\frac{b}{a}<|k|<|k_0|$ 时，直线 $l$ 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；

(4)当 $|k|=|k_0|$ 时，直线 $l$ 与双曲线只有一个交点；

(5)当 $|k|>|k_0|$ 时，直线 $l$ 与双曲线没有交点。

六、椭圆双曲线共焦点问题

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 和双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 共焦点，设椭圆方程为 $\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1(m>0,n>0)$，

双曲线方程为 $\frac{x^2}{p}-\frac{y^2}{q}=1(p>0,q>0)$，

则： $S_{△F_{1}P{F}_2}=n\cdot \frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }=q\cdot \frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha }$

整理得： $\frac{n}{1+\cos \alpha }=\frac{q}{1-\cos \alpha }⟹\cos \alpha =\frac{n-q}{n+q}$

同时有 $|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=n+q$。

1. 当 $P{F}_1\perp P{F}_2$ 时，椭圆和双曲线的离心率满足： $\frac{1}{e_{\text{椭}}^2}+\frac{1}{e_{\text{双}}^2}=2$ 其中 $e_{\text{椭}}=\frac{2c}{|P{F}_1|+|P{F}_2|}$，$e_{\text{双}}=\frac{2c}{||P{F}_1|-|P{F}_2||}$。

2. 当 $\angle F_{1}P{F}_2=\alpha$ 时，有恒等式： $\frac{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{e_{\text{椭}}^2}+\frac{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}{e_{\text{双}}^2}=1$

证明：由 $\frac{a_{\text{椭}}^2-c^2}{1+\cos \alpha }=\frac{c^2-a_{\text{双}}^2}{1-\cos \alpha }$，代入离心率 $e=\frac{c}{a}$，整理可得上述结论。

七. 双曲线的切线方程

（1）在双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线方程是： $\frac{x_{0}x}{a^2}-\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

（2）过双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 外一点 $P(x_0,y_0)$ 所引两条切线的切点弦方程是： $\frac{x_{0}x}{a^2}-\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

（3）双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 与直线 $Ax+By+C=0$ 相切的条件是： $A^2{a}^2-B^2{b}^2=C^2$

⚠️ 考场避坑与做题技巧

直线与双曲线交点个数

当直线的斜率 $k=\pm \frac{b}{a}$ 时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有且只有一个交点（切记不是相切）。

渐近线方程的快速设定

若已知渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$，可直接设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$. $\lambda >0$ 焦点在 $x$ 轴，$\lambda <0$ 焦点在 $y$ 轴.

第三定义的定值符号

椭圆斜率积为 $-\frac{b^2}{a^2}$（负值），双曲线斜率积为 $\frac{b^2}{a^2}$（正值）。这是区分两者的重要代数特征。