18.01 椭圆专题全总结

🟦 椭圆专题全总结 (The Ellipse Comprehensive Guide)

核心心法

“定义定根基，几何化代数”。椭圆是圆锥曲线的核心。理解其三大定义（和为定值、比为定值、斜率积为定值）是解题的关键。在处理焦点三角形与焦长问题时，灵活运用正余弦定理与离心率的几何意义，可以大幅简化运算量。

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一、椭圆第一定义

1. 第一定义 平面内与两个定点 $F_1,F_2$ 的距离之和等于常数（大于 $|F_1{F}_2|$）的点的轨迹称为椭圆。 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$（$2a>2c=|F_1{F}_2|$） 即：$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a$，整理得标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。

轨迹判断： - $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a>|F_1{F}_2|⟹$ 点 $P$ 的轨迹是以 $F_1,F_2$ 为焦点的椭圆； - $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a=|F_1{F}_2|⟹$ 点 $P$ 的轨迹是线段 $F_1{F}_2$； - $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a<|F_1{F}_2|⟹$ 点 $P$ 无轨迹。

2. 几何性质

焦点的位置	焦点在 $x$ 轴上	焦点在 $y$ 轴上
图形	以 $x$ 轴为长轴的椭圆	以 $y$ 轴为长轴的椭圆
标准方程	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）	$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）
范围	$-a\le x\le a$ 且 $-b\le y\le b$	$-b\le x\le b$ 且 $-a\le y\le a$
顶点	$A_1(-a,0),A_2(a,0)$ $B_1(0,-b),B_2(0,b)$	$A_1(0,-a),A_2(0,a)$ $B_1(-b,0),B_2(b,0)$
轴长	短轴长 $2b$，长轴长 $2a$	短轴长 $2b$，长轴长 $2a$
焦点	$F_1(-c,0),F_2(c,0)$	$F_1(0,-c),F_2(0,c)$
焦距	$|F_1{F}_2|=2c$	$|F_1{F}_2|=2c$
$a,b,c$ 的关系	$a^2=b^2+c^2$	$a^2=b^2+c^2$
离心率	$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$（$0<e<1$） （$e$ 越大椭圆越扁；$e$ 越小椭圆越圆）	$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$（$0<e<1$） （$e$ 越大椭圆越扁；$e$ 越小椭圆越圆）
通径	过焦点且垂直于长轴的弦，长度为 $\frac{2b^2}{a}$	过焦点且垂直于长轴的弦，长度为 $\frac{2b^2}{a}$

二、椭圆第二定义

1. 第二定义 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 $e(0<e<1)$ 的点的轨迹，其中，定点为焦点，定直线叫做准线，常数 $e$ 叫做离心率。 $\frac{|PF|}{d}=e,e\in (0,1)$.

当 $F(c,0)$，$l:x=\frac{a^2}{c}$，$e=\frac{c}{a}$ 时， $\frac{\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}}{\frac{a^2}{c}-x}=\frac{c}{a}⟺\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

2. 焦长坐标公式 设 $P(x_0,y_0)$ 为椭圆上的一点：

(1) 焦点在 $x$ 轴：焦长 $\{\begin{array}{l}|P{F}_1|=a+e{x}_0\\ |P{F}_2|=a-e{x}_0\end{array}$（左加右减）

(2) 焦点在 $y$ 轴：焦长 $\{\begin{array}{l}|P{F}_1|=a+e{y}_0\\ |P{F}_2|=a-e{y}_0\end{array}$（上加下减）

证明方法：

• 法一（第二定义）：$|P{F}_2|=ed=\frac{c}{a}(\frac{a^2}{c}-x_0)=a-e{x}_0$，$|P{F}_1|=2a-|P{F}_2|=a+e{x}_0$.

• 法二（两点间距离公式）：$|P{F}_1|=\sqrt{(x_0+c{)}^2+y_0^2}$，代入 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$，化简可得。

3. 焦长角度公式 设 $A$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上一点，$F_1,F_2$ 是左、右焦点，$\angle A{F}_1{F}_2$ 为 $\alpha$，弦 $AB$ 过 $F_1$，则：

(1) $|A{F}_1|=\frac{b^2}{a-c\cos \alpha }$ ,$|B{F}_1|=\frac{b^2}{a+c\cos \alpha }$

(2) $|AB|=\frac{2a{b}^2}{a^2-c^2{\cos }^2\alpha }$ ,$\frac{1}{|A{F}_1|}+\frac{1}{|B{F}_1|}=\frac{2a}{b^2}$

(3) 若 $AB$,$CD$ 是过焦点 $F$ 且相互垂直的弦，则 $\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}=\frac{2-e^2}{2b^2}$

焦长角度公式证明:

设 $|A{F}_1|=m$，$|B{F}_1|=n$，则 $|A{F}_2|=2a-m$，$|B{F}_2|=2a-n$。 由余弦定理： $m^2+(2c{)}^2-(2a-m{)}^2=2m\cdot (2c)\cos \alpha$，整理得 $|A{F}_1|=\frac{b^2}{a-c\cos \alpha }$ (1)

同理，$n^2+(2c{)}^2-(2a-n{)}^2=2n\cdot (2c)\cos (180^{\circ }-\alpha )$，

整理得 $|B{F}_1|=\frac{b^2}{a+c\cos \alpha }$ (2)

(1)+(2)得过焦点的弦长： $|AB|=m+n=\frac{2a{b}^2}{a^2-c^2{\cos }^2\alpha }$

$\frac{1}{|A{F}_1|}+\frac{1}{|B{F}_1|}=\frac{a-c\cos \alpha }{b^2}+\frac{a+c\cos \alpha }{b^2}=\frac{2a}{b^2}$

若 $AB$,$CD$ 为过焦点且互相垂直的弦，则： $\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}=\frac{a^2-c^2{\cos }^2\alpha }{2a{b}^2}+\frac{a^2-c^2{\cos }^2(\alpha +\frac{\pi }{2})}{2a{b}^2}=\frac{2a^2-c^2}{2a{b}^2}=\frac{2-e^2}{2b^2}$

4. 焦长衍生关系

(1) $P$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上任意一点，$F_1$ 为椭圆的一个焦点，则 $|P{F}_1|$ 的取值范围是 $[a-c,a+c]$。

(2) $P$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上任意一点，$F_1,F_2$ 为椭圆的左右焦点，则 $|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|$ 的取值范围是 $[b^2,a^2]$。

(3) $P$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上任意一点，$F_1,F_2$ 为椭圆的左右焦点，则 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}$ 的取值范围是 $[b^2-c^2,a^2-c^2]$。

(4) $P$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上任意一点，$F_1,F_2$ 为椭圆的左右焦点，则 $|\overrightarrow{P{F}_1}+\overrightarrow{P{F}_2}|$ 的取值范围是 $[2b,2a]$。

三、椭圆第三定义

平面内的动点到两定点的斜率乘积等于常数 $k(k<0$ 且 $k\ne -1)$ 的点的轨迹。

衍生结论：已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上关于原点对称的两个定点，那么到这两定点连线的斜率之积为定值 $-\frac{b^2}{a^2}$（或 $e^2-1,0<e<1$）的点的轨迹是椭圆，通常这两个定点分别为长轴或者短轴顶点。

证明：设 $M(x,y)$ 是椭圆上任意一点，两个定点为 $A_1(x_1,y_1)$,$A_2(-x_1,-y_1)$，则： $k_{M{A}_1}\cdot k_{M{A}_2}=\frac{y-y_1}{x-x_1}\cdot \frac{y+y_1}{x+x_1}=\frac{y^2-y_1^2}{x^2-x_1^2}$

根据椭圆方程，将 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 变形为 $y^2=b^2-\frac{b^2{x}^2}{a^2}$， 代入上式可得： $k_{M{A}_1}\cdot k_{M{A}_2}=-\frac{b^2}{a^2}$，即椭圆上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数。

四、椭圆焦点三角形大总结

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，焦点为 $F_1,F_2$，$P$ 为椭圆上的点，$\angle F_{1}P{F}_2=\theta$。

（1）焦点三角形的周长为： $L=2a+2c$

（2）$|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=\frac{2b^2}{1+\cos \theta }$

（3）焦点三角形的面积： $S_{△F_{1}P{F}_2}=b^2\tan \frac{\theta }{2}$

证明：设 $|P{F}_1|=m,|P{F}_2|=n$，

则： $\{\begin{array}{l}m+n=2a\\ (2c{)}^2=m^2+n^2-2mn\cos \theta \\ S_{△F_{1}P{F}_2}=\frac{1}{2}mn\sin \theta \end{array}$

由 $(1{)}^2-(2)$

得：$mn=\frac{2b^2}{1+\cos \theta }$，

代入面积公式： $S_{△F_{1}P{F}_2}=b^2\cdot \frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=b^2\tan \frac{\theta }{2}$

（4）当 $P$ 为短轴端点时，$\angle F_{1}P{F}_2$ 最大；此时面积 $S$ 也取得最大值，最大值为 $bc$。

（5）设焦点 $△P{F}_1{F}_2$ 的内切圆半径为 $r$，则面积 $S=(a+c)r$。

（6）在焦点三角形 $P{F}_1{F}_2$ 中，设 $\angle P{F}_1{F}_2=\alpha$，$\angle P{F}_2{F}_1=\beta$，则离心率： $e=\frac{c}{a}=\frac{2c}{2a}=\frac{|F_1{F}_2|}{|P{F}_1|+|P{F}_2|}=\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\sin \alpha +\sin \beta }$

五. 椭圆的参数方程

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=a\cos \theta \\ y=b\sin \theta \end{array}(\theta \text{ 为参数})$

六. 椭圆的切线方程

（1）椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线方程是： $\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

（2）过椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 外一点 $P(x_0,y_0)$ 所引两条切线的切点弦方程是： $\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

（3）椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 与直线 $Ax+By+C=0$ 相切的条件是： $A^2{a}^2+B^2{b}^2=C^2$

⚠️ 考场避坑与做题技巧

焦长范围的妙用

$|P{F}_1|\in [a-c,a+c]$，而焦长积 $|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|\in [b^2,a^2]$。在处理不等式最值问题时，直接引用这些范围可以跳过复杂的函数求导。

离心率计算的“齐次化”

很多求离心率的题目并不需要求出 $a,b,c$ 的具体值，只需要通过正弦定理或几何关系建立 $a,c$ 的齐次式，直接化简为 $\frac{c}{a}$ 即可。

“左加右减”的适用性

在使用 $a\pm e{x}_0$ 时，务必确认焦点在 $x$ 轴。如果焦点在 $y$ 轴，公式变为 $a\pm e{y}_0$。