05.02 函数的四大性质

🟦 函数的四大性质：单调、奇偶、周期、对称 (Properties of Functions)

核心心法

单调性看“趋势”，奇偶性看“对称”，周期性看“重复”，对称性看“平衡”。四大性质常交织出现，解题的关键在于性质间的转化与综合应用。

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一、 函数的单调性 (Monotonicity)

1. 定义

对于定义域 $I$ 内某个区间 $D$ 上的任意两个自变量 $x_1,x_2$：

• (1) 当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在区间 $D$ 上是增函数；
• (2) 当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)>f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在区间 $D$ 上是减函数。

2. 单调性的性质

• 定义域是函数的整体性质，单调性是函数的局部性质。
• 若函数单调区间不止一个时，不能用“$\cup$”书写，需要用“，”或“和”隔开。
• 区间端点包不包括没有严格规定，但要注意端点是否在定义域内。

3. 证明单调性的步骤

1. 取值：在区间 $D$ 上取任意 $x_1,x_2$，设 $x_1<x_2$；
2. 作差变形：计算 $f(x_1)-f(x_2)$，并因式分解或配方，化为易判断符号的形式；
3. 定号：判断 $f(x_1)-f(x_2)$ 的正负；
4. 结论：根据定义，判断函数在区间上的单调性。

4. 单调性定义的变式

设 $x_1,x_2\in [a,b]$，且 $x_1\ne x_2$：

• (1) $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0⟺(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0⟺f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是增函数 $⟺f^{\prime }(x)\ge 0$ 恒成立；
• (2) $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0⟺(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0⟺f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是减函数 $⟺f^{\prime }(x)\le 0$ 恒成立。

5. 快速判断函数单调性

设 $f(x),g(x)$ 具有单调性，常数 $k>0$，常数 $c\in R$：

• (1) $\sqrt[n]{f(x)},kf(x),f(x)+c$ 与 $f(x)$ 有相同的单调性（注：$\sqrt[n]{f(x)}$ 当 $n$ 为偶数时，需考虑定义域变化）；
• (2) $\frac{k}{f(x)},-kf(x)$ 与 $f(x)$ 有相反的单调性（注：$\frac{k}{f(x)}$ 当存在 $x_0$ 使得 $f(x_0)=0$ 时，单调区间会被分割）；
• (3) 若 $f(x),g(x)$ 都是区间 $D$ 上的增（减）函数，则 $F(x)=f(x)+g(x)$ 在区间 $D$ 上也是增（减）函数；
• (4) 设 $f(x),g(x)$ 都是区间 $D$ 上恒正的增（减）函数，则 $F(x)=f(x)\cdot g(x)$ 在区间 $D$ 上也是增（减）函数。

6. 单调性性质的应用

• (1) 若 $f(x)$ 为增函数，则 $f(x_1)<f(x_2)⟺x_1<x_2$；
• (2) 若 $f(x)$ 为减函数，则 $f(x_1)<f(x_2)⟺x_1>x_2$。
• 常结合奇偶性解抽象函数不等式，化得具体的不等式（组），应用时还应要求 $x_1,x_2$ 在定义域内。

7. 最大值与最小值

• （1）最大值：设 $y=f(x)$ 的定义域为 $I$，如果 $\exists M\in R$ 满足：
  • (1) 对 $\forall x\in I$，都有 $f(x)\le M$；
  • (2) $\exists x_0\in I$，使得 $f(x_0)=M$，则称 $M$ 为最大值。
• （2）最小值：设 $y=f(x)$ 的定义域为 $I$，如果 $\exists M\in R$ 满足：
  • (1) 对 $\forall x\in I$，都有 $f(x)\ge M$；
  • (2) $\exists x_0\in I$，使得 $f(x_0)=M$，则称 $M$ 为最小值。

8. 复合函数单调性 (同增异减)

• 定义：$y=f[g(x)]$。例如：$F(x)=\frac{1}{x^2+x}$ 是 $f(u)=\frac{1}{u}$ 和 $g(x)=x^2+x$ 的复合。
• 法则：
  • 若 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 单调性相同，则 $y=f[g(x)]$ 递增；
  • 若 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 单调性不同，则 $y=f[g(x)]$ 递减。

$y=f(u)$	$u=g(x)$	$y=f(g(x))$
增	增	增
减	减	增
增	减	减
减	增	减

9. 分段函数单调性

• (1) 左段单调性与整体一致；(2) 右段单调性与整体一致；
• (3) 若整体增（减），则左段函数在端点的函数值 $\le$（$\ge$）右段函数在端点的函数值。

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二、 函数的奇偶性 (Parity)

1. 奇偶性定义

判断步骤：先看定义域是否关于原点对称，再比较 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系。

• (1) 偶函数：$f(-x)=f(x)⟺$ 图象关于 $y$ 轴（$x=0$）对称 $⟺$ 轴对称。
• (2) 奇函数：$f(-x)=-f(x)⟺$ 图象关于 原点 $(0,0)$ 对称 $⟺$ 中心对称。

2. 常用结论

• (1) 四则运算与复合：

组合	$f\pm g$	$f\cdot g$ 或 $f/g$	$f(g(x))$
偶与偶	偶	偶	偶
奇与奇	奇	偶	奇
偶与奇	非奇非偶	奇	偶

• (2) 奇函数过原点：定义域若包括 0，则必有 $f(0)=0$。
• (3) 偶函数性质：$f(x)=f(|x|)$，常用于解不等式 $f(x_1)<f(x_2)⟺f(|x_1|)<f(|x_2|)$。
• (4) 既奇又偶：若 $f(x)=0$ 且定义域关于原点对称。
• (5) 对称单调性：奇函数在对称区间单调性相同；偶函数在对称区间单调性相反。
• (6) 构造奇偶：$f(x)+f(-x)$ 为偶，$f(x)-f(-x)$ 为奇，$f(x)f(-x)$ 为偶。
• (7) 分段形式：
  • 奇：$y=\{\begin{array}{l}f(x),x>0\\ -f(-x),x<0\end{array}$ (等价 $y=\frac{|x|}{x}f(|x|)$)
  • 偶：$y=\{\begin{array}{l}f(x),x>0\\ f(-x),x<0\end{array}$ (等价 $y=f(|x|)$)
• (8) 多项式：偶函数则奇次项系数为 0；奇函数则偶次项系数为 0。

3. 常用奇偶函数模型

• (1) 奇函数模型：
  • (1) $f(x)=m(\frac{a^x+1}{a^x-1})$ 或 $f(x)=m+\frac{2m}{a^x-1}$；
  • (2) $f(x)=\pm (a^x-a^{-x})$；
  • (3) $f(x)={\log }_a\frac{x+m}{x-m}$；
  • (4) $f(x)={\log }_a(\sqrt{b^2{x}^2+1}\pm bx)$。
• (2) 偶函数模型：
  • (1) $f(x)=\pm (a^x+a^{-x})$；
  • (2) $f(x)={\log }_a(a^{mx}+1)-\frac{mx}{2}$；
  • (3) $f(|x|)$ 类型。

4. 奇常函数 $f(x)=g(x)+k$ ($g$ 为奇)

1. $f(a)+f(-a)=2k$
2. $f(x{)}_{\max }+f(x{)}_{\min }=2k$
3. 找 $k$：若 0 在域内，$f(0)=k$。

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三、 函数的周期性 (Periodicity)

1. 定义

若 $f(x+T)=f(x)$ ($T\ne 0$)，则 $T$ 为周期。最小的正数 $T$ 称为最小正周期。

2. 常用周期结论 (内同看差值)

• (1) $f(x+a)=\frac{1}{f(x)}\Rightarrow T=2a$
• (2) $f(x+a)=-f(x)\Rightarrow T=2a$
• (3) $f(x+a)=-\frac{1}{f(x)}\Rightarrow T=2a$
• (4) $f(x+a)=f(x-a)\Rightarrow T=2a$
• (5) $f(x+a)=\frac{\lambda }{f(x)}\Rightarrow T=2a$
• (6) $f(x+a)+f(x-a)=b\Rightarrow T=4a$
• (7) $f(x+a)=\frac{1}{1-f(x)}\Rightarrow T=3a$
• (8) $f(x+a)=1-\frac{1}{f(x)}\Rightarrow T=3a$
• (9) $f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\Rightarrow T=4a$
• (10) $f(x+2a)=f(x+a)-f(x)\Rightarrow T=6a$

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四、 函数的对称性 (Symmetry)

1. 轴对称 (内异相等)

• (1) $f(a+x)=f(a-x)⟺$ 图象关于直线 $x=a$ 对称；
• (2) $f(a+x)=f(b-x)⟺$ 图象关于直线 $x=\frac{a+b}{2}$ 对称。

2. 中心对称 (内异相反)

• (1) $f(a+x)+f(a-x)=0⟺$ 关于点 $(a,0)$ 对称；
• (2) $f(a+x)+f(a-x)=2b⟺$ 关于点 $(a,b)$ 对称；
• (3) $f(a+x)+f(b-x)=c⟺$ 关于点 $(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$ 对称。

3. 关联结论

• 奇偶平移：$f(x+a)$ 奇 $⟺f(x)$ 关于 $(a,0)$ 对称；$f(x+a)$ 偶 $⟺f(x)$ 关于 $x=a$ 对称。
• 和之规律：图象关于 $x=a$ 或 $(a,0)$ 对称，若有 $n$ 个零点，则 $\sum x_i=na$。
• 证明方法：直接证明对应恒等式，或利用平移变换。

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五、 周期与对称的综合

1. 关于 $(a,0)$,$(b,0)$ 对称 $\Rightarrow T=2|a-b|$。 (推论：奇函数关于 $(a,0)$ 对称 $\Rightarrow T=2a$)
2. 对称轴 $x=a$,$x=b\Rightarrow T=2|a-b|$。 (推论：偶函数关于 $x=a$ 对称 $\Rightarrow T=2a$)
3. 关于 $(a,0)$ 且 $x=b$ 对称 $\Rightarrow T=4|a-b|$。
   • 推论 1：奇函数关于 $x=a$ 对称 $\Rightarrow T=4a$；
   • 推论 2：偶函数关于 $(a,0)$ 对称 $\Rightarrow T=4a$；
   • 推论 3/4：周期为 $T$ 的奇函数关于 $(T/2,0)$ 对称；偶函数关于 $x=T/2$ 对称。

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六、 类周期函数

1. 阶梯函数 $f(x+T)=f(x)+B$

• $f(x)=f(x-nT)+nB$ ； $f(x)=f(x+nT)-nB$

2. 倍增函数 $f(x+T)=Af(x)$

• $f(x)=A^{n}f(x-nT)$ ； $f(x)=\frac{1}{A^n}f(x+nT)$

3. 倍增阶梯函数 $f(x+T)=Af(x)+B$

• $f(x)=A^{n}f(x-nT)+(A^{n-1}+\cdots +1)B$
• $f(x)=\frac{1}{A^n}f(x+nT)-\frac{(A^{n-1}+\cdots +1)B}{A^n}$

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

单调区间的书写禁忌

在书写单调区间时，若存在多个区间，严禁使用并集符号“$\cup$”。必须用“和”或分号“；”隔开。

• 例：反比例函数 $y=1/x$ 的减区间应写为 $(-\infty ,0)$ 和 $(0,+\infty )$。

分段函数的整体单调性

判定分段函数整体单调时，不仅要求每段内部单调，还需检验连接点处的值域衔接。

• 增函数要求：左段在端点的值 $\le$ 右段在端点的值。

奇函数 $f(0)$ 的杀手锏

若奇函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有定义，则必有 $f(0)=0$。这常是解解析式中参数的突破口。

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